関数値を点Pの座標で表す
g_{s,t}(s-1),g_{s,t}(s+1) の式を具体的に求めると、以下の通りです。
\begin{aligned}
g_{s,t}(s-1) = & \frac{3}{4}(s-1)^3-3s(s-1)^2 \\
&+3s^2(s-1)+s -s^3+t \\
=&-\frac{1}{4}(s-1)(s+1)(s-3) + t \\
g_{s,t}(s+1) = & \frac{3}{4}(s+1)^3-3s(s+1)^2 \\
&+3s^2(s+1)+s -s^3+t \\
=&-\frac{1}{4}(s-1)(s+1)(s+3) + t \\
\end{aligned}また、極値 g_{s,t}(\frac{2}{3}s),g_{s,t}(2s) の式を具体的に求めると、以下の通りです。
\begin{aligned}
g_{s,t}(\frac{2}{3}s) = &\frac{3}{4} \left (\frac{2}{3}s \right)^3 -3s\left (\frac{2}{3}s \right)^2 \\
&+3s^2\left (\frac{2}{3}s \right) +s-s^3 +t \\
= & -\frac{s^3}{9} +s +t \\
g_{s,t}(2s) = &\frac{3}{4} (2s )^3 -3s (2s )^2 \\
&+3s^2 (2s ) +s-s^3 +t \\
= & -s^3 +s +t
\end{aligned}よって不等式(2) は不等式(6)に包含されることがわかります。
点Pの座標の不等式
0 < s < 1 のとき、
\begin{aligned}
& g_{s,t}(s-1) -g_{s,t}(2s) \\
&= -\frac{1}{4}(s+1)(s-1)(s-3) + t \\
& - (-s^3 +s +t ) \\
& = \frac{3}{4}(s-1)(s+1)^2 < 0
\end{aligned}なので、不等式(3) は不等式(6) に包含されます。また、
\begin{aligned}
& g_{s,t}(s+1) -g_{s,t}(\frac{2}{3}s) \\
&= -\frac{1}{4}(s+1)(s-1)(s+3) + t \\
& - (-\frac{s^3}{9} +s +t ) \\
& = -\frac{1}{36}(s+3)^2(5s-3)
\end{aligned}なので、 0 < s \leqq \frac{3}{5} のとき、不等式(4)は不等式(5)に包含され、 \frac{3}{5} < s < 1 のとき、不等式(5)は不等式(4)に包含されます。
以上を整理すると、 (s,t) が満たすべき不等式は 0 < s \leqq \frac{3}{5} のとき、
\frac{s^3}{9} -s < t < s^3 -s\frac{3}{5} < s < 1 のとき、
\frac{1}{4}(s-1)(s+1)(s+3) \leqq t < s^3 -sとなります。
s < 0 の場合も同様に計算、評価することで、 -\frac{3}{5} \leqq s < 0 のとき、
s^3 -s < t < \frac{s^3}{9} -s-1 < s < -\frac{3}{5} のとき
s^3 -s < t \leqq \frac{1}{4}(s-1)(s+1)(s-3)となります。