T_k を具体的な関数値で上下から評価する
ターゲットの集合を f^{-1}(y) の値域の和集合で表す
I が第1象限と第4象限をまたがないときは 0 \leqq \alpha 、またぐときは \alpha < 0 であるとします。すると、 P(x) の定義から、
P(x) \in I \\
\Leftrightarrow \\
\text{ある整数} n \text {が存在して} \\
\alpha + 2 \pi n \leqq 2\pi f(x) \leqq \beta + 2 \pi n \\
\Leftrightarrow \\
\text{ある整数} n \text {が存在して} \\
\frac{\alpha}{2 \pi} + n \leqq f(x) \leqq \frac{\beta }{2 \pi} + n \\
\Leftrightarrow \\
\text{ある整数} n \text {が存在して} \\
f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +n) \leqq x \leqq f^{-1}(\frac{\beta }{2 \pi} + n ) \\
です。
よって、
k \leqq x \leqq k+1 \text{ かつ } P(x) \in I \\
\Leftrightarrow \\
k \leqq x \leqq k+1 \\
\text{ かつ } \\
\text{ある整数} n \text {が存在して} \\
f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +n) \leqq x \leqq f^{-1}(\frac{\beta }{2 \pi} + n ) \\
です。
ここで、 \alpha の正負に場合分けして考えます。
\alpha \geqq 0 のとき
\alpha \geqq 0 のとき、任意の整数 n に対して、
2 n \pi \leqq \alpha + 2 n \pi < \beta + 2 n \pi < 2 (n+1) \pi
なので、
\begin{aligned}
& f^{-1}(n) \\
& \leqq f^{-1}( \frac{\alpha}{2 \pi} + n ) < f^{-1}( \frac{\beta }{2 \pi}+ n) \\
& < f^{-1}(n+1)
\end {aligned}です。よって、 f(k),f(k+1) がともに整数であることに注意すると、
\begin{aligned}
& k = f^{-1}(f(k) ) \\
& \leqq f^{-1}( \frac{\alpha}{2 \pi} + f(k) ) < f^{-1}( \frac{\beta }{2 \pi}+ f(k)) \\
& < f^{-1}(f(k) +1) \\
& < f^{-1}( \frac{\alpha}{2 \pi} + f(k)+1 ) < f^{-1}( \frac{\beta }{2 \pi}+ f(k)+1) \\
& < f^{-1}(f(k) +2) \\
& < f^{-1}( \frac{\alpha}{2 \pi} + f(k)+2 ) < f^{-1}( \frac{\beta }{2 \pi}+ f(k)+2) \\
& < f^{-1}(f(k) +3) \\
& \text{ } \vdots \\
& < f^{-1}(f(k+1) -1) \\
& < f^{-1}( \frac{\alpha}{2 \pi} + f(k+1)-1 ) \\
& \text{ } < f^{-1}( \frac{\beta }{2 \pi}+ f(k+1) -1) \\
& < f^{-1}(f(k+1) ) = k+1
\end {aligned}です。
したがって、
k \leqq x \leqq k+1 \text{ かつ }P(x) \in I \\
\Leftrightarrow \\
\text{ある整数 } f(k) \leqq n \leqq f(k+1) - 1 \\
\text { が存在して} \\
f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +n) \leqq x
\leqq f^{-1}(\frac{\beta }{2 \pi} + n ) \\
\Leftrightarrow \\
\text{ある整数 } 0 \leqq m \leqq f(k+1) -f(k) - 1 \\
\text { が存在して} \\
f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +f(k) +m) \leqq x \\
\leqq f^{-1}(\frac{\beta }{2 \pi} + f(k) +m ) \\
なので、
\begin{aligned}
& \{ x | k \leqq x \leqq k+1, P(x) \in I \} \\
= & \bigcup_{m=0}^{f(k+1) - f(k)-1} \{x |f^{-1}( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \leqq x
\\
& \text{ } \leqq f^{-1}( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} )\} \\
\end{aligned}が成り立ちます。
\alpha < 0 のとき
\alpha < 0 のとき、 任意の整数 n に対して、
\alpha + 2 n\pi < 2 n\pi < \beta + 2 n \pi < \alpha + 2 (n+1)\pi
なので、
\begin{aligned}
f^{-1} (\frac{\alpha }{2 \pi}+ n) < f^{-1}(n) < f^{-1} ( \frac{\beta }{2 \pi} + n ) \\
< f^{-1} (\frac{\alpha }{2 \pi}+ n+1)
\end{aligned}です。よって、
\begin{aligned}
& k = f^{-1}(f(k) ) \\
& < f^{-1}( \frac{\beta}{2 \pi} + f(k) ) \\
& < f^{-1}( \frac{\alpha}{2 \pi} + f(k)+1 ) < f^{-1}( \frac{\beta }{2 \pi}+ f(k)+1) \\
& < f^{-1}( \frac{\alpha}{2 \pi} + f(k)+2 ) < f^{-1}( \frac{\beta }{2 \pi}+ f(k)+2) \\
& \text{ } \vdots \\
& < f^{-1}(f(k+1) -1) \\
& < f^{-1}( \frac{\alpha}{2 \pi} + f(k+1)-1 ) \\
& \text{ } < f^{-1}( \frac{\beta }{2 \pi}+ f(k+1) -1) \\
& < f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +f(k+1) ) < f^{-1}(f(k+1)) \\
& = k+1
\end {aligned}です。
したがって、
k \leqq x \leqq k+1 \text{ かつ }P(x) \in I \\
\text { }\\
\Leftrightarrow \\
\text { }\\
\text{ある整数 } f(k) +1\leqq n \leqq f(k+1) - 1 \\
\text { が存在して} \\
f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +n) \leqq x
\leqq f^{-1}(\frac{\beta }{2 \pi} + n ) \\
\text{または} \\
k \leqq x \leqq f^{-1}(\frac{\beta }{2 \pi} + f(k)) \\
\text{または} \\
f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +f(k+1)) \leqq x \leqq k+1) \\
\text { }\\
\Leftrightarrow \\
\text { }\\
\text{ある整数 } 1 \leqq m \leqq f(k+1) -f(k) - 1 \\
\text { が存在して} \\
f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +f(k) +m) \leqq x \\
\leqq f^{-1}(\frac{\beta }{2 \pi} + f(k) +m ) \\
\text{または} \\
k \leqq x \leqq f^{-1}(\frac{\beta }{2 \pi} + f(k)) \\
\text{または} \\
f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +f(k+1)) \leqq x \leqq k+1) \\
であり、
\begin{aligned}
& \{ x | k \leqq x \leqq k+1, P(x) \in I \} \\
= & \bigcup_{m=1}^{f(k+1) -f(k)-1} \{x |f^{-1}( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \leqq x
\\
& \text{ } \leqq f^{-1}( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} )\} \\
& \text{ } \bigcup \{x |k \leqq x \leqq f^{-1}(\frac{\beta}{2\pi} + f(k) ) \} \\
& \text{ } \bigcup \{x | f^{-1}( \frac{\alpha}{2\pi} + f(k+1)) \leqq x \leqq k+1\} \\
\end{aligned}が成り立ちます。
T_k を f^{-1}(y) の値で上下から評価する
よって 0 \leqq \alpha のとき、
\begin{aligned}
T_k & = \sum_{m=0}^{f(k+1)-f(k)-1} \{ f^{-1}( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} ) \\
& \text{ } - f^{-1}( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \}
\end{aligned}です。また、 \alpha < 0 のとき、
\begin{aligned}
T_k & = \sum_{m=1}^{f(k+1)-f(k)-1} \{ f^{-1}( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} ) \\
& \text{ } - f^{-1}( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \} \\
& + f^{-1}( f(k)+ \frac{\beta}{2\pi} ) - k \\
& + k+1 - f^{-1}( f(k+1) + \frac{\alpha}{2\pi}) \\
\end{aligned}ですが、 \alpha < 0 であることから k = f^{-1}(f(k)) > f^{-1}(f(k) +\frac{\alpha}{2 \pi} ) なので
\begin{aligned}
& f^{-1}( f(k)+ \frac{\beta}{2\pi} ) - k \\
< & f^{-1}( f(k)+ \frac{\beta}{2\pi} ) - f^{-1}( f(k)+ \frac{\alpha}{2\pi} )
\end{aligned}です。また、 k+1 = f^{-1}(f(k+1)) < f^{-1}(f(k+1) + \frac{\beta}{2 \pi } ) なので
\begin{aligned}
& k+1 - f^{-1}( f(k+1) + \frac{\alpha}{2\pi}) \\
< & f^{-1}(f(k+1) + \frac{\beta}{2 \pi }) - f^{-1}( f(k+1) + \frac{\alpha}{2\pi})
\end{aligned}です。よって
\begin{aligned}
T_k & = \sum_{m=1}^{f(k+1)-f(k)-1} \{ f^{-1}( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} ) \\
& \text{ } - f^{-1}( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \} \\
& + f^{-1}( f(k)+ \frac{\beta}{2\pi} ) - k \\
& + k+1 - f^{-1}( f(k+1) + \frac{\alpha}{2\pi}) \\
& < \sum_{m=0}^{f(k+1) -f(k)} \{ f^{-1}( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} ) \\
& \text{ } - f^{-1}( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \} \\
\end{aligned}かつ
\begin{aligned}
T_k & = \sum_{m=1}^{f(k+1)-f(k)-1} \{ f^{-1}( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} ) \\
& \text{ } - f^{-1}( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \} \\
& + f^{-1}( f(k)+ \frac{\beta}{2\pi} ) - k \\
& + k+1 - f^{-1}( f(k+1) + \frac{\alpha}{2\pi}) \\
& > \sum_{m=1}^{f(k+1)-f(k)-1} \{ f^{-1}( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} ) \\
& \text{ } - f^{-1}( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \} \\
\end{aligned}が成り立ちます。
この不等式は、 0 \leqq \alpha のときも成り立ちます。
平均値の定理を適用する
式に関数値の差が現れたので、セオリー通り平均値の定理を適用してみます。 f^{-1} (y) は微分可能なので、各 k,m に対して
f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi} < c_{k,m} < f(k) +m +\frac{\beta}{2\pi}である実数 c_{k,m} が存在して、
\begin{aligned}
& f^{-1} ( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} ) \\
& - f^{-1} ( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \\
=& (\frac{\beta}{2\pi} -\frac{\alpha}{2\pi}) \frac{d }{dy} f^{-1} (c_{k,m}) \\
=& \frac{L}{2\pi}\frac{d }{dy} f^{-1} (c_{k,m}) \\
\end{aligned}が成り立ちます。ここで \beta -\alpha = L であることを適用しています。
よって T_k は、
\begin{aligned}
& \frac{L}{2\pi}\sum_{m=1}^{f(k+1)-f(k)-1} \frac{ d }{dy}f^{-1}( c_{k,m}) \\
< & T_k \\
< & \frac{L}{2\pi}\sum_{m=0}^{f(k+1)-f(k)} \frac{ d }{dy}f^{-1}( c_{k,m})
\end{aligned}と評価できます。