伝説の超難問の解法まとめ – 1998年東大 数学 後期 第3問

小問2の解法

　以下、図3のようにオセロの石が1列に並んでいる状態をオセロ列と呼ぶことにします。また、すべての石が白のオセロ列を白オセロ列と呼びます。

　小問2を解くにあたって、まず、以下の命題を準備しておきます。

命題１

n個の白オセロが1列に並ぶとき、n+3個の白オセロ列を生成することができる

　長さが n の白オセロ列があるとき、以下の図4の手順によって、長さ n+3 の白オセロ列を生成することが出来ます。

　ところが、初期状態は白石1個なので、命題1より、 n= 3m+1(m=0,1,2,\cdots ) のとき、長さ n の白オセロ列を生成できることがわかります。

　また、以下のように長さ n= 3 の白オセロ列を生成できます。

\begin{aligned}
& \text{○} \\
& \Downarrow \\
&\text{●} -\text{○} \\
& \Downarrow \\
\text{○} - & \text{○} - \text{○} \\

\end{aligned}

　よって命題1より、 n= 3m(m=1,2,\cdots ) のとき、長さ n の白オセロ列を生成できることがわかります。

　すなわち、自然数 \bm n を3で割ったあまりが0または1であるとき、長さ n の白オセロ列が生成できます。

　のこりは、 n = 3m+2 (m=1,2,\cdots ) の場合です。 n =2 のとき、白オセロ列は出来ないことから、 n を3で割ったあまりが2の時は白オセロ列は出来ないと予想できますが、これの証明が超絶難問です。