m = lp2 ( p+1 ≦ l かつ lが p の倍数でない) のとき
b を自然数とします。 bp \leqq l \leqq (b+1)p-1 の範囲で、
\begin{aligned}
& {}_{p^2+lp^2} \mathrm{C}_{p^2} \equiv l+1 ( \mod p^3) \cdots (4)\\
\end{aligned}が成り立つことを、数学的帰納法によって証明します。
l =bp の時は証明済みです。
l \leqq (b+1)p-1 のときに式(4)が成り立つと仮定するとき、
\begin{aligned}
{}_{p^2+(l+1)p^2} \mathrm{C}_{p^2} & = {}_{(l+2)p^2} \mathrm{C}_{p^2}\\
& = \frac{l+2}{l+1} {}_{(l+2)p^2-1} \mathrm{C}_{p^2}
\end{aligned}なので、分母を払って、
\begin{aligned}
& (l+1){}_{(l+2)p^2} \mathrm{C}_{p^2}
= (l+2) {}_{(l+2)p^2-1} \mathrm{C}_{p^2}
\end{aligned}ですが、
\begin{aligned}
& {}_{(l+2)p^2-1} \mathrm{C}_{p^2} \\
= &p^2 \sum_{i=1}^{p-1} \frac{{}_{(l+2)p^2-p +i-1} \mathrm{C}_{p^2} }{(l+1)p^2-p+i } + {}_{(l+2)p^2-p } \mathrm{C}_{p^2} \\
\end{aligned}であり、かつ命題2により、
\sum_{i=1}^{p-1} \frac{{}_{(l+2)p^2-p +i-1} \mathrm{C}_{p^2} }{(l+1)p^2-p+i } \equiv 0 ( \mod p)なので、
\begin{aligned}
& {}_{(l+2)p^2-1} \mathrm{C}_{p^2} \equiv {}_{(l+2)p^2-p } \mathrm{C}_{p^2} ( \mod p^3)\\
\end{aligned}です。したがって、
\begin{aligned}
(l+1) {}_{(l+2)p^2} \mathrm{C}_{p^2} \equiv (l+2) {}_{(l+2)p^2-p } \mathrm{C}_{p^2}
\\( \mod p^3) \cdots(5)\\
\end{aligned}が成り立ちます。
同様にして、自然数 1 \leqq j \leqq p-1 に対し、
\begin{aligned}
{}_{(l+2)p^2-jp} \mathrm{C}_{p^2} = \frac{(l+2)p-j}{(l+1)p-j} {}_{(l+2)p^2-(j+1)p} \mathrm{C}_{p^2}
\end{aligned}なので、分母を払って、
\begin{aligned}
& \{ (l+1)p-j \} {}_{(l+2)p^2-jp} \mathrm{C}_{p^2} \\
= & \{ (l+2)p -j \} {}_{(l+2)p^2 -jp-1} \mathrm{C}_{p^2}
\end{aligned}であり、命題2によって
\begin{aligned}
& {}_{(l+2)p^2-jp-1} \mathrm{C}_{p^2} \\
= &p^2 \sum_{i=1}^{p-1} \frac{{}_{(l+2)p^2-(j+1)p +i-1} \mathrm{C}_{p^2} }{(l+1)p^2-(j+1)p+i } \\
& + {}_{(l+2)p^2-(j+1)p } \mathrm{C}_{p^2} \\
\equiv & {}_{(l+2)p^2-(j+1)p } \mathrm{C}_{p^2} ( \mod p^3 )
\end{aligned}が成り立ちます。よって、
\begin{aligned}
& \{ (l+1)p-j \} {}_{(l+2)p^2-jp} \mathrm{C}_{p^2} \\
\equiv & \{ (l+2)p -j \} {}_{(l+2)p^2 -(j+1)p} \mathrm{C}_{p^2} \\
& \text{ } ( \mod p^3) \cdots(6)
\end{aligned}です。
式(6)において j = p-1 のとき、帰納法の仮定により
\begin{aligned}
& (lp+1) {}_{(l+1)p^2+p} \mathrm{C}_{p^2} \\
\equiv & \{ (l+1)p +1 \} {}_{(l+1)p^2 } \mathrm{C}_{p^2} \\
\equiv & \{ (l+1)p +1 \} ( l+1 ) ( \mod p^3)
\end{aligned}が成り立ちます。
j= p-2 のとき、
\begin{aligned}
& (lp+2) {}_{(l+1)p^2+2p} \mathrm{C}_{p^2} \\
\equiv & \{ (l+1)p +2 \} {}_{(l+1)p^2 +p} \mathrm{C}_{p^2}
( \mod p^3)
\end{aligned}であることから
\begin{aligned}
& (lp+2) (lp+1){}_{(l+1)p^2+2p} \mathrm{C}_{p^2} \\
\equiv & \{ (l+1)p +2 \} (lp+1) {}_{(l+1)p^2 +p} \mathrm{C}_{p^2} \\
\equiv & \{ (l+1)p +2 \} \{ (l+1)p +1 \} (l+1) \\
& \text{ } ( \mod p^3)
\end{aligned}が成り立ちます。
以下、逐次的に
\begin{aligned}
& {}_{(l+2)p^2-jp} \mathrm{C}_{p^2} \prod_{i=1}^{p-j} (lp+i) \\
\equiv & (l+1) \prod_{i=1}^{p-j} \{(l+1)p+i\}
( \mod p^3) \\
& \text{ } (j=p-1,p-2,\cdots,1) \\
\end{aligned}が成り立ちますが、特に j = 1 のとき、
\begin{aligned}
& {}_{(l+2)p^2-p} \mathrm{C}_{p^2} \prod_{i=1}^{p-1} (lp+i) \\
\equiv & (l+1) \prod_{i=1}^{p-1} \{(l+1)p+i\}
( \mod p^3) \\
\end{aligned}です。
ところが、命題7により、
{}_{p+lp-1} \mathrm{C}_{lp} \equiv {}_{p+(l+1)p-1} \mathrm{C}_{(l+1)p} \equiv 1 ( \mod p^3)なので、
\begin{aligned}
\prod_{i=1}^{p-1} (lp+i) & \equiv(p-1)! {}_{p+lp-1} \mathrm{C}_{lp} \\
&\equiv(p-1)! ( \mod p^3) \\
\prod_{i=1}^{p-1} \{(l+1)p+i \} & \equiv(p-1)! {}_{p+(l+1)p-1} \mathrm{C}_{(l+1)p} \\
& \equiv (p-1)! ( \mod p^3) \\
\end{aligned}
が成り立ちます。これを代入して
\begin{aligned}
& (p-1)! {}_{(l+2)p^2-p} \mathrm{C}_{p^2} \\
\equiv & (p-1)! (l+1)
( \mod p^3) \\
\end{aligned}を得ますが、 (p-1)! は p と素なので、両辺をこれで割ることが出来て、
\begin{aligned}
& {}_{(l+2)p^2-p} \mathrm{C}_{p^2} \equiv l+1
( \mod p^3) \\
\end{aligned}です。
これを式(5)に代入して
\begin{aligned}
(l+1) {}_{(l+2)p^2} \mathrm{C}_{p^2} & \equiv (l+2) {}_{(l+2)p^2-p } \mathrm{C}_{p^2} \\
& \equiv (l+1)(l+2) ( \mod p^3)
\end{aligned}ですが、 l+1 は p と素なので両辺をこれで割って、
\begin{aligned}
{}_{(l+2)p^2} \mathrm{C}_{p^2}
& \equiv l+2 ( \mod p^3)
\end{aligned}が成り立ちます。
以上、数学的帰納法により、b が自然数のとき、 bp \leqq l \leqq (b+1)p-1 の範囲で、
\begin{aligned}
& {}_{p^2+lp^2} \mathrm{C}_{p^2} \equiv l+1 ( \mod p^3) \cdots(4)\\
\end{aligned}であることが証明できました。
1 \leqq l \leqq p-1 のとき、および l= bp ( b は自然数）のときに式(4)が成り立つことは証明済みなので、結局、 すべての自然数 l に対し式(4)が成り立ちます。
ここまでの結果をまとめると、以下の命題が得られます。
命題10
p を5以上の素数とする。このとき、自然数 a に対し、
{}_{ap^2} \mathrm{C}_{p^2} \equiv a ( \mod p^3)
が成り立つ。
長い道のりでしたが、ついにここまで来ました！あとは p=3 の場合のみです。