c1 が p2 の倍数であることの証明
まず、 c1 について考察します。
\begin{aligned}
c_1 & = \sum_{k=1}^{p-1} \prod_{\substack{1 \leqq i\leqq p-1 \\ i \ne k} } i \\
& = \sum_{k=1}^{\frac{p-1}2} ( \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-1 \\ i \ne k} } i + \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-1 \\ i \ne p-k} } i ) \\
& = \sum_{k=1}^{\frac{p-1}2} \left \{(p-k) \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-1 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i + k \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-1 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i \right \} \\
& = p \sum_{k=1}^{\frac{p-1}2} \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-1 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i \\
& = p \left \{\prod_{\substack{i=2 } }^{p-2} i + (p-1) \sum_{k=2}^{\frac{p-1}2} \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i \right \}
\end{aligned}ですが、命題5により、
\prod_{\substack{i=2 } }^{p-2} i \equiv 1 ( \mod p)です。また、同じく命題5により、
\begin{aligned}
& \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i \\
\equiv & \prod_{j=2}^{p-2} j \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i \\
\equiv & \left \{ \left (\prod_{\substack{2 \leqq j \leqq p-2 \\ j \ne k}} j \right ) \cdot k \right \} \left (\prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i \right)\\
\equiv & \left (\prod_{\substack{2 \leqq j \leqq p-2 \\ j \ne k}} j \right ) \left \{k \left (\cdot \prod_{\substack{ 1 \leqq i \leqq p-2 \\ i\ne k \\i \ne p-k} } i \right )\right \} \\
\equiv & \prod_{\substack{2 \leqq j \leqq p-2 \\ j \ne k}} j \prod_{\substack{ 1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne p-k} } i \
\end{aligned}ですが、命題5により、
\begin{aligned}
k \cdot \prod_{\substack{2 \leqq j \leqq p-2 \\ j \ne k}} j & = \prod_{j=2}^{p-2} j \equiv 1( \mod p) \\
(p-k) \cdot\prod_{\substack{ 1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne p-k} } i & = \prod_{i=2}^{p-2} i \equiv 1( \mod p)
\end{aligned}が成り立つので、命題6により、
\begin{aligned}
\prod_{\substack{2 \leqq j \leqq p-2 \\ j \ne k}} j & = k^{-1} \\
\prod_{\substack{ 1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne p-k} } i & = (p-k)^{-1} \equiv p-k^{-1} ( \mod p)
\end{aligned}であり、
\begin{aligned}
& \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i \equiv k^{-1}(p-k^{-1} ) (\mod p )
\end{aligned}となります。
よって、
\begin{aligned}
& \sum_{k=2}^{\frac{p-1}2}\prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i \equiv \sum_{k=2}^{\frac{p-1}2} k^{-1}(p-k^{-1} ) (\mod p )
\end{aligned}ですが、 l=p-k と変数変換すると、命題6により、
\begin{aligned}
& \sum_{k=2}^{\frac{p-1}2} k^{-1}(p-k^{-1} ) \\
= & \sum_{l=\frac{p+1}2}^{p-2} (p-l)^{-1}(p-(p-l)^{-1} ) \\
= & \sum_{l=\frac{p+1}2}^{p-2} (p-l)^{-1}(p-(p-(l^{-1} ) ) \\
= & \sum_{l=\frac{p+1}2}^{p-2} (p-l)^{-1}l^{-1} \\
\end{aligned}が成り立ちます。
よって、
\begin{aligned}
& \sum_{k=2}^{\frac{p-1}2} \prod_{\substack{1 \leqq i\leqq p-2 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i \\
\equiv &\frac{1}2 \sum_{k=2}^{\frac{p-1}2} k^{-1}(p-k^{-1}) + \frac{1}2 \sum_{k=2}^{\frac{p-1}2} k^{-1}(p-k^{-1}) \\
\equiv &\frac{1}2 \sum_{k=2}^{\frac{p-1}2} k^{-1}(p-k^{-1}) + \frac{1}2 \sum_{k=\frac{p+1}2}^{p-2} k^{-1}(p-k^{-1}) \\
\equiv & \frac{1}2 \sum_{k=2}^{p-2} k^{-1}(p - k^{-1}) ( \mod p )
\end{aligned}です。
k が 2 ≦ k≦ p-2 の範囲を動くとき、命題4により、 j = k-1 は 2 ≦ j ≦ p-2 の範囲を漏れ無く重複なく動きます。したがって
\begin{aligned}
& \sum_{k=2}^{\frac{p-1}2} \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i \\
\equiv & \frac{1}2 \sum_{k=2}^{p-2} k^{-1}(p - k^{-1}) \\
\equiv & \frac{1}2 \sum_{j=2}^{p-2} j(p - j) ( \mod p )
\end{aligned}です。
一方、
\begin{aligned}
& \frac{1}2 \sum_{j=2}^{p-2} j(p - j) \\
= & \frac{1}2 \left \{ \sum_{j=1}^{p-2} j(p - j) -(p-1) \right \} \\
= & \frac{1}2 \left \{ \frac{p(p-2)(p-1)}{2} \right. \\
& \text{ } - \left. \frac{(p-2)(p-1)(2p-3)}6 -(p-1) \right \} \\
= & \frac{(p-1) \{ 3p(p-2) - (p-2)(2p-3) -6 \} }{12} \\
= & \frac{(p-1) ( p^2 + p -12 ) }{12} \\
= & \frac{p(p-1) (p+1)}{12} -p+1 \\
\end{aligned}が成り立ちます。
p は奇数なので (p-1)(p+1) は４の倍数です。また、p は３の倍数でないので、 p-1 かp+1 のどちらか一方は３の倍数です。したがって、 \displaystyle\frac{(p-1)(p+1)}{12} は自然数です。
よって、
\frac{1}2 \sum_{j=2}^{p-2} j(p - j) \equiv 1 ( \mod p )であり、
\begin{aligned}
\sum_{k=2}^{\frac{p-1}2} \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i & \equiv \frac{1}2 \sum_{j=2}^{p-2} j(p - j) ( \mod p ) \\
& \equiv 1 (\mod p)
\end{aligned}が成り立ちます。したがって、ある自然数 \eta が存在して、
\begin{aligned}
& \sum_{k=2}^{\frac{p-1}2} \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne k \\i \ne p-k} }^{p-2} i = 1 + \eta p \\
\end{aligned}です。また、命題5により、ある自然数 \xi が存在して、
\prod_{\substack{i=2 } }^{p-2} i = 1 + \xi pなので、
\begin{aligned}
c_1 & = \sum_{k=1}^{p-1} \prod_{\substack{ 1 \leqq i \leqq p-1 \\ i \ne k} } i \\
& = p(\prod_{\substack{i=2 } }^{p-2} i + (p-1) \sum_{l=2}^{\frac{p-1}2} \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i ) \\
&= p \left \{ \xi p +1 +(p-1) ( \eta p + 1) \right \} \\
& = p( \xi p + 1 + \eta p^2 +p - \eta p -1) \\
& = p^2(\xi + \eta p +1 - \eta)\\
\end{aligned}となり、c1 は p2 倍数であることがわかりました。