2022年京大 数学 第6問 は漸化式の中に三角関数がある、なんかいやらしい問題です。問題文は以下のとおりです。
数列 \{x_n \} , \{y_n \} を次の式
\begin{aligned}
& x_1=0 , x_{n+1} =x_n+n+2 \cos \left (\displaystyle\frac{2 \pi x_n}{3} \right ) &\\
& \text{ } (n=1 , 2 , 3 , \cdots) & \\
&y_{3m+1}=3m , y_{3m+2}=3m+2 , y_{3m+3}=3m+4 \\
& \text{ }(m=0 , 1 , 2 , \cdots )
\end{aligned}
により定める。
このとき , 数列 \{x_n -y_n \} の一般項を求めよ。
ヤバみが深い問題文です。この年の京大数学は比較的解きやすい問題が多かったので、放っても良いかなとも思います。しかし、 x_n はよく見ると整数であることが帰納的に証明できそうで、三角関数の項は２とか−１とかの高々有限個の値をとる、単なるこけ脅しの予感がします。
全くても足も出ない、というわけでも無さそうなので、とりあえず見ていきましょう。
2022年京大 数学 第6問 の解法
{yn} の添字表現を {xn} に合わせる
{yn} の定義は、よく見ると漸化式ではありません。既に一般項になっています。 最終的に yn を xn から引かなければならないので、{xn} に合わせて以下のように書き換えます。
y_n= \left \{
\begin{aligned}
&n-1 & (n \equiv 1 \mod 3) \\
& n & (n \equiv 2 \mod 3) \\
&n+1 &(n \equiv 0 \mod 3) \\
\end{aligned}
\right . \cdots(1)三角関数の値を求める
\{ x_n \} の漸化式に現れる三角関数 \displaystyle\cos \frac{2\pi x_{n}}{3} は、 x_n を3で割った余りの値によって、以下の値を取ります。
\cos \frac {2 \pi x_n}3= \left \{
\begin{aligned}
& - \frac{1}2 & (x_n \equiv 1 \mod 3) \\
& - \frac{1}2 & (x_n \equiv 2 \mod 3) \\
&1 &(x_n \equiv 0 \mod 3) \\
\end{aligned}
\right . \cdots(2)ですが、これが {yn} と同じように3の剰余類で記述できる規則性があると、 yn とうまく相殺できる可能性が開けてきます。そこで、 x_n を3で割った余りが、 n によってどのように決まるかを考察します。
まずは、具体的に計算します。以下のとおりです。
| n | x_n | mod 3 |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 |
| 2 | 3 | 0 |
| 3 | 4 | 1 |
| 4 | 9 | 0 |
| 5 | 12 | 0 |
| 6 | 16 | 1 |
試してみた結果、
x_n\equiv \left \{
\begin{aligned}
&0 \mod 3 & (n \equiv 1 \mod 3) \\
& 0 \mod 3 & (n \equiv 2 \mod 3) \\
&1 \mod 3 &(n \equiv 0 \mod 3) \\
\end{aligned}
\right . \cdots (3)であることが予想できます。以下、これを証明します。
式(3) は以下のように表記できます。
\begin{aligned}
x_{3m+1} \equiv 0 \mod 3 \\
x_{3m+2} \equiv 0 \mod 3 \\
x_{3m+3} \equiv 1 \mod 3 \\
(m=0,1,2,\cdots)
\end{aligned} \cdots(4)これを、 m に関する数学的帰納法によって証明します。
m = 0 のときは成り立つことを確認済みです。
m = k ( k ≧ 0 ) のときに(4)が成り立つと仮定するとき、
\begin{aligned}
x_{3k+4} = & x_{3k+3} +3k+3 +2 \cos \frac{2 \pi x_{3k+3}}{3} \\
= & x_{3k+3} +3k+3 -1 \\
\equiv & 0 \mod 3 \\
x_{3k+5} = & x_{3k+4} +3k+4 +2 \cos \frac{2 \pi x_{3k+4}}{3} \\
= & x_{3k+4} +3k+4 +2 \\
\equiv & 0 \mod 3 \\
x_{3k+6} = & x_{3k+5} +3k+5 +2 \cos \frac{2 \pi x_{3k+5}}{3} \\
= & x_{3k+5} +3k+5 +2 \\
\equiv &1 \mod 3 \\
\end{aligned} なので、 m = k+1 のときにも式（４）は成り立ちます。よって式(4)が証明できました。
{xn – yn} が満たす漸化式を求める
式(2)と式(3)により、以下の式が成り立ちます。
\cos \frac {2 \pi x_n}3= \left \{
\begin{aligned}
& 1 & (n \equiv 1 \mod 3) \\
& 1 & (n \equiv 2 \mod 3) \\
&- \frac{1}2 &(n \equiv 0 \mod 3) \\
\end{aligned}
\right . したがって、 \{x_n\} は以下の漸化式を満たします。
x_ {n+1}= \left \{
\begin{aligned}
& x_n+n+2 & (n \equiv 1 \mod 3) \\
& x_n+n+2 & (n \equiv 2 \mod 3) \\
& x_n+n-1 &(n \equiv 0 \mod 3) \\
\end{aligned}
\right . xn を左辺に移項して
x_ {n+1} - x_n= \left \{
\begin{aligned}
& n+2 & (n \equiv 1 \mod 3) \\
& n+2 & (n \equiv 2 \mod 3) \\
& n-1 &(n \equiv 0 \mod 3) \\
\end{aligned}
\right . \cdots(5)を得ます。
一方、式（１）より、
y_{n+1}= \left \{
\begin{aligned}
&n+1 & (n \equiv 1 \mod 3) \\
& n +2& (n \equiv 2 \mod 3) \\
&n &(n \equiv 0 \mod 3) \\
\end{aligned}
\right . なので、
y_{n+1} -y_n= \left \{
\begin{aligned}
&2 & (n \equiv 1 \mod 3) \\
& 2& (n \equiv 2 \mod 3) \\
&-1 &(n \equiv 0 \mod 3) \\
\end{aligned}
\right . \cdots(6)が成り立ちます。
式(5)から式(6)を辺々引いて、
(x_{n+1} -y_{n+1}) -(x_n -y_n)= nを得ます。隣接二項間漸化式に帰着できました。後は計算するだけです。 x_1 = y_1 = 0 なので、
x_n -y_n= \frac{n(n-1)}2であることがただちにわかります。
解法のポイント
漸化式に三角関数が含まれていてビビりますが、 {xn} が整数列になっていて、三角関数項は高々有限個の値しか取らないと気がつくことが第1歩です。これは、 xn の具体的な値をいくつか計算すれば、容易に解ると思います。これに気がついてしまえば、三角関数のことは忘れてしまえます。
次に、三角関数項の値の規則性に気がつくことがポイントですが、これは {yn} の法則性がヒントになると思います。
三角関数項は結局のところ、問題を難しくするためだけに存在しているようなものなので、他の問題への応用は余り効かなさそうですが、2つの数列の和の一般項などと言われた時には、変な項が相殺できるかも知れない、という観点で見るようにしましょう。