三平方の定理を絡めた整数問題 – 2025年京大 数学 第2問

　2025年京大 数学 第2問 は三平方の定理が絡んだ整数問題です。問題文は以下のとおりです。

N = 9z^2 = x^6 + y^4

　三平方の定理を満たす整数の組を求めよ、という問題のバリエーションですが、4乗や6乗の計算があるので、試行錯誤で答えを探すのはしんどそうです。

2025年京大 数学 第2問 の解法

基本方針

　基本方針は与式が成り立つための必要条件を求め、これを絞り込んで探索範囲を狭めた上で、最後は試行錯誤的に答えを探す、というものです。

　整数問題なので、剰余類を活用するというのはセオリーです。3がz の係数にあるので、まずは mod 3 を考えます。

mod 3 で何が言えるか考える

　すると、 x や y は3の倍数でなければならないことが直ちにわかります。なぜかというと、もし x \not\equiv 0 (\mod 3) だとすると、 x \equiv 1 (\mod 3) または x \equiv 2 (\mod 3) であり、いずれの場合も x^2 \equiv 1 (\mod 3) です。同様に、もし y \not\equiv 0 (\mod 3) だとすると、 y^2 \equiv 1 (\mod 3) です。

　よってもし x と y の少なくとも一方が3の倍数でないなら

x^6 +y^4 \not\equiv 0 ( \mod 3)

ですが、与式の左辺 9z² は必ず3の倍数なので矛盾です。したがって、与式が成り立つならば x と y の双方が3の倍数です。

　そこで x → 3x 、 y → 3y と置き換えます。すると

9 z^2 = 3^6 x^6 + 3^4 y^4

です。両辺を 9 で割って

 z^2 = 3^4 x^6 + 3^2 y^4

です。

　したがって、 z も3の倍数である必要があります。そこで z → 3z と置き換えると

 9z^2 = 3^4 x^6 + 3^2 y^4

なので両辺を 9 で割って

 z^2 = 9 x^6 +  y^4

が成り立ちます。

最大公約数について考察する

　ここで更に、 x,y,z が最大公約数 c を持つと仮定します。 x → cx、 y→cy、 z→cz と置き換えると

 c^2z^2 = 9 c^6x^6 + c^4 y^4

です。これの両辺を c² で割って

 z^2 = 9 c^4x^6 + c^2 y^4

ですが、 明らかにz は c の倍数です。そこで更にz→cz と置き換えると

 c^2z^2 = 9 c^4x^6 + c^2 y^4

なので両辺を c² で割って

 z^2 = 9 c^2x^6 +  y^4

です。

必要条件のまとめ

　以上をまとめると、

1. 与式を満たす x,y,z の最大公約数は３の倍数である
2. 最大公約数を 3c(c ≧ 1)と置くとき、z は3c² の倍数である
3. x = 3cX,y = 3cY,z=3c²Z と置くと
   
   Z^2 = 9c^2 X^6 + Y^4
   
   が成り立つ

　というのが必要条件になりますが、明らかに十分条件でもあります。そこで、これを満たす X,Y,Z を探します。

必要条件を満たす3数を探す

　まず、 c = 1 であるとして、

Z^2 = 9 X^6 + Y^4 

を満たす X,Y,Z を探します。もし見つからなければ、 c の値を順次大きくして探します。

　まず、 Y = 1 というのはあり得ません。平方数に1を足したものは平方数にならないからです。もしある自然数 a,b が存在して b² = a² + 1 が成り立ったとすると、 (b–a)(b+a) = 1 であることと b–a,b+a はともに自然数であることから、

\left \{
\begin{aligned}
b-a = 1 \\
b+a = 1
\end{aligned}
\right .

なので a=0, b=1 ですが、これは a,b がともに自然数（すなわち1以上）であることに矛盾します。

　それでは、 Y = 2 というのはどうでしょうか。

Z^2 = 9 X^6 + 16 

ですが、ここで 25 = 9 + 16 であることを思い起こすことができれば、 X=1,Z=5 に直ちに気がつけます。

　よって

x = 3X = 6,y= 3Y = 3, z = 3Z = 15

は

\begin{aligned}
9z^2 = & 9 \times 15^2 \\
 = & 2025  \\
= & 729 + 1296 \\
 = & 3^6 + 6^4
\end{aligned}

を満たします。さらに、平方数の和で 25より小さい平方数は存在しないので、z = 15 は問題文の式を満たすものの中で最小です。

　ゆえに N の最小値は 2025 です。

解法のポイント

　もともとの式から mod 3 でなにか言えるか、更に3数の最大公約数で割ったらどうなるか、考えてみましょう。なるべく小さい数字で考えないと埒が明かないので、最大公約数で割ってみようというのは必ず試すようにしましょう。

　本稿では平方数に1を足したら平方数にならないことを証明するときに出てきましたが、平方数の差から因数分解を導くというのもよくある手法です。平方数の問題が出てきたら、剰余類と因数分解で何が言えるか、必ず確認するようにしましょう。