積分方程式の計算地獄問題 – 2019年東工大 数学 第2問
2019年東工大 数学 第2問 は、積分方程式に関する問題です。問題文は以下のとおりです。
次の等式が 1 \leqq x \leqq 2 で成り立つような関数 f(x) と定数 A,B を求めよ．
\int_{\frac{1}x }^{\frac{2}x } | \log y | f(xy) dy = 3x( \log x -1) +A + \frac{B}{x}ただし， f(x) は 1 \leqq x \leqq 2 に対して定義される連続関数とする．
一見すると、 x で微分すれば何とかなるんじゃね、といった軽いノリで解けそうな感じがしますが、本問は思ったよりヤバイ問題です。計算がドロドロになります。
この年（2019年）には、このあとに伝説の無理ゲー問題（第4問）が控えており、本問をおいそれと捨ててしまうわけにも行きませんが、どのタイミングでヤバさに気がつくか、どこまでなら取り組んでも大丈夫かの見切りが、非常に重要になってきます。
では、早速見ていきましょう。なお、本稿の内容は東工大が公表したものではありません。
変数変換で方程式の変数と積分変数を分離する
左辺の関数の独立変数に方程式の変数(x)と積分変数(y)が同居しているので、まずこれを何とかします。
対策としては、オーソドックスに変数変換です。 t = xy と変換します。すると、 \displaystyle\frac{dt}{dy} = x なので、問題文の式の左辺を F(x) と表記するとき、 F(x) は以下のように変形できます。
\begin{aligned}
F(x) =& \int_{\frac{1}x }^{\frac{2}x } | \log y | f(xy) dy \\
= & \int_{1 }^{2 } | \log ( \frac{t}{x}) | f(t) \frac{dt}x \\
\end{aligned}絶対値を外す
次は、これもオーソドックスに積分の中の絶対値を外します。
\begin{aligned}
F(x) = & - \int_{1 }^{x } \log ( \frac{t}{x}) f(t) \frac{dt}x \\
& + \int_{x }^{2 } \log ( \frac{t}{x}) f(t) \frac{dt}x \\
= & - \int_{1 }^{x } \log ( \frac{t}{x}) f(t) \frac{dt}x \\
& - \int_{2 }^{x } \log ( \frac{t}{x}) f(t) \frac{dt}x \\
= & - \frac{1}x \int_{1 }^{x } ( \log t - \log x) f(t) dt \\
& - \frac{1}x \int_{2 }^{x } ( \log t - \log x) f(t) dt
\end{aligned}分母を払う
「よし！後は微分するだけだ！」と猪突猛進すると、いつまでも積分項が残ってしまって埒が明きません。そこで G(x) = xF(x) と置き、この G(x) を微分します。
\begin{aligned}
G(x) = & x F(x) \\
= & -\int_{1 }^{x } f(t) \log t dt + \log x \int_{1 }^{x } f(t) dt \\
& -\int_{2 }^{x } f(t) \log tdt + \log x \int_{2 }^{x } f(t) dt \\
\end{aligned}なので、
\begin{aligned}
\frac{d}{dx}G(x) = & - f( x) \log x + \frac{1}x \int_{1 }^{x } f(t) dt \\
&\text{ } + f( x) \log x \\
& - f( x) \log x + \frac{1}x \int_{2 }^{x } f(t) dt \\
& \text{ } + f( x) \log x \\
& = \frac{1}x \int_{1 }^{x } f(t) dt + \frac{1}x \int_{2 }^{x } f(t) dt
\end{aligned}です。
思いの外すっきりした式になりましたが、 log x を微分した関係上、また分数が出来てしまったので、もう1回分母を払います。
H(x) = x \displaystyle\frac{d}{dx} G(x) と置くとき、
\begin{aligned}
H(x) = & x \frac{d}{dx}G(x) \\
= & \int_{1 }^{x } f(t) dt + \int_{2 }^{x } f(t) dt
\end{aligned}なので、
\frac{d}{dx}H(x) = 2 f(x)です。ついに積分記号を外すことが出来ました！
f(x) の具体的な式を求める
いよいよ f(x) の具体的な式を求める時がやって来ました。問題文の式の右辺に着目します。
F(x) = 3x( \log x -1) +A + \frac{B}{x}なので、
G(x) = xF(x) = 3x^2( \log x -1) +A x+ B
です。これを微分して、
\frac{d}{dx}G(x) = 6x \log x -3x+A 両辺 x を掛けて
H(x) = x\frac{d}{dx}G(x) = 6x^2 \log x -3x^2+A x微分して
\frac{d}{dx}H(x) = 12x \log x +A です。したがって、
2f(x)= 12x \log x +A
であり、
f(x)= 6x \log x +\frac{A }2であることがわかりました。
ここまで15分以内でたどり着ければ申し分ありませんが、そうでない場合は見切りをつけてしまうのもひとつの戦略だと思います。
ここまでくれば、あとは定数 A,B を求めるだけだし、もう完答したも同然だ！、と思ってしまいがちですが、実は本当に大変なのはここからです。それでは、真の恐怖はここから始まる的な後半に行きます。
定数 A の値を求める
不定定数が A しか現れない H(x) に着目します。
\begin{aligned}
H(x) = & \int_{1 }^{x } f(t) dt + \int_{2 }^{x } f(t) dt \\
= &6x^2 \log x -3x^2+A x
\end{aligned}ですが、これに x = 1 を代入して
\begin{aligned}
\int_{2 }^{1 } f(t) dt = -3+A
\end{aligned}です。 f(t) = 6t \log t + \displaystyle\frac{A}2 なので、
\begin{aligned}
\int_{2 }^{1 } \left ( 6t \log t + \frac{A}2 \right) dt = -3+A
\end{aligned}です。
\int_1^2 t \log t dt = 2\log 2-\frac{3}4なので、
-12 \log 2 +\frac{9}2 - \frac{1}2 A = -3 + Aです。したがって、
A = 5- 8 \log 2
を得ます。
なんか変な結果なのが少し気になりますが、それほど難しい計算ではないし、きっと大丈夫だろうと判断して次に行きます。
定数 B の値を求める
\begin{aligned}
G(x) = & -\int_{1 }^{x } f(t) \log t dt + \log x \int_{1 }^{x } f(t) dt \\
& -\int_{2 }^{x } f(t) \log tdt + \log x \int_{2 }^{x } f(t) dt \\
= & 3x^2( \log x -1) +A x+ B
\end{aligned}に x = 1 を代入して
\begin{aligned}
& -\int_{2 }^{1 } f(t) \log tdt = -3+ A + B
\end{aligned}ですが、 f(t) = 6t \log t + \displaystyle\frac{A}2 なので、
\begin{aligned}
- \int_{2 }^{1 } \left ( 6t \log t + \frac{A}2 \right) \log t dt =-3+ A +B
\end{aligned}左辺のかっこを外し、積分の方向を順方向に直して、
\begin{aligned}
6 \int_{1 }^{2 } t (\log t )^2 dt + \frac{A}2 \int_1^2 \log t dt = -3+A +B
\end{aligned}です。
\begin{aligned}
\int_1^2 t(\log t)^2 dt & = 2( \log 2) ^2 -2 \log 2 + \frac{3}4 \\
\int_1^2 \log t dt & = 2 \log 2 -1
\end{aligned}なので（1つ目は部分積分を使って計算できます）、
12 (\log 2) ^2 - 12 \log 2 +\frac{9}2 +( \log 2 -\frac{1}2) A \\
=-3+A +Bであり、したがって
B =12 (\log 2) ^2 - 12 \log 2 +\frac{15}2 +( \log 2 -\frac{3}2) A \\
です。
これに A = 5- 8 \log 2 を代入して
B =4 (\log 2) ^2 +5 \log 2
を得ます。
本当にこれで合っているのか、非常に不安になります。
計算の結果だけ見ると大した手間でもないようにも思えますが、想像以上に面倒くさくて、うんざりします。部分積分の符号反転が何度も出てきたりして、油断しているとケアレスミスを誘発します。
兎にも角にも、計算結果は出ました。まとめると以下のとおりです。
\begin{aligned}
f(x) &= 6x \log x +\frac{5 }2 -4 \log 2 \\
A &= 5- 8 \log 2 \\
B &=4 (\log 2) ^2 +5 \log 2
\end{aligned}解法のポイント
本問は関数 f(x) を求めるまでの前半と、定数 A,B を求める後半に分けられます。
前半のポイントは積分の変数変換と、式の分母を払うことです。 f(xy) となっていてちょっとあせりますが、積分を考える際には x を定数と考えてしまえばよい、と発想できれば、変数変換というのは割と容易に思いつけるでしょう。
式の両辺の分母を払うというのも、微分計算を簡単にしたいという観点から考えれば、こちらも割と容易に思いつけるでしょう。また、本問のように積分項に関数が掛けてある場合には、その関数が何回か微分することで定数になってもらう必要があるので、そちらからも分母を払うという発想は得られると思います。
後半は特別な数学的発想は必要なく、とにかく計算力がポイントです。しかも何か特殊な計算方法が求められているわけでもなく、オーソドックスな部分積分のみなのですが、符号の反転が頻発して、気をつけないとミスをします。
本問は全般に、計算力に主軸を置いた設問になっています。超絶難易度の計算があるわけではないので、基本的な計算問題を大量にこなして、速さと正確さを身につけるようにしましょう。