1が連続して99個以上並ぶ数を探せ – 2013年東大 数学 第5問
今回取り上げるのは、 2013年東大 数学 第5問 です。問題文は以下の通りです。
次の命題Pを証明したい。
命題P 次の条件(a)、(b)をともに満たす自然数 A が存在する。
(a) A は連続する3つの自然数の積である。
(b) A を10進法で表した時、１が連続して99回以上現れるところがある。
以下の問いに答えよ。
(1) y を自然数とする。このとき不等式
\begin{aligned}
& \text{ } x^3 + 3yx^2 \\
& < (x + y - 1)(x + y)(x + y + 1) \\
& < x^3 + (3y + 1)x^2
\end{aligned}
が成り立つような正の実数 x の範囲を求めよ。
(2) 命題Pを証明せよ。
命題Pの条件(b)を言い換えると、以下のようになります：
ある自然数 a 、 b が存在して、 b を10進表記したときの桁数を n と置く時、
A = a \times 10^{99+n} + \overbrace{111111 \cdots 1}^{99 \text{個} } \times 10^{n} + b ・・・①
が成り立つ。
ところで、小問(1)の不等式が、(2)を証明するためのヒントと言うか、これを使って証明せよという謎かけになっているはずですが、どう生かせばよいのか、はっきり言って見当が付きません。
この見当のつかなさが、本問を東大難問列伝の筆頭に押し上げています。が、まずは小問(1)から取り掛かります。
小問１の解法
実は小問１は、単に計算すればいいだけの問題です。まず不等式の左側です。
\begin{aligned}
& (x + y - 1)(x + y)(x + y + 1) - x^3 - 3yx^2 \\
& = (x + y )^3 - (x + y) - x^3 - 3yx^2 \\
& = 3xy^2 + y^3 - (x + y) \\
& = (3y^2 - 1 )x + y^3 -y
\end{aligned}x が正の実数で、 y が自然数なので、この式は常に正です。
次に不等式の右側です。
\begin{aligned}
& x^3 + (3y + 1) x^2 \\
&- (x + y - 1)(x + y)(x + y + 1) \\
& = x^3 + (3y+1)x^2-(x + y )^3 + (x + y) \\
& = x^2 - (3y^2 -1) x- y^3 + y \\
\end{aligned}これが正になるための x の条件は、
x > \frac{(3y^2 - 1) + \sqrt{ (3y^2-1)^2 + 4 (y^3-y) } } {2}です。ここからさらに、何かを導出しなければならないと思ったのですが、これでOKのようです。