複素数のべき乗なら極形式 – 2016年京大文系数学第5問

2021年5月31日2023年8月14日

　2016年京大文系数学第5問は、3次方程式の複素根に関する問題です。問題文は以下の通りです。

実数を係数とする3次式 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ に対し、次の条件を考える。

（イ）方程式 $f(x)=0$ の解であるすべての複素数 $\alpha$ に対し、 $\alpha^3$ もまた $f(x)=0$ の解である。
（ロ）方程式 $f(x)=0$ の解は虚数解を少なくとも１つもつ。

この2つの条件（イ）、（ロ）を同時に満たす3次式をすべて求めよ。

　条件（イ）に、複素数の3乗が出てきます。本問のように複素数のべき乗が出てきたとき、極形式は無類の強さを発揮します。

1. 極形式とは
2. 2016年京大文系数学第5問の解法
3. 発展
4. 解法のポイントと今後の学習方針

極形式とは

　極形式とは、複素数 $z$ を複素平面上のベクトルと見立てて、実軸との角度 $\theta$ （偏角と言います）および絶対値 $r = |z|$ で表す表現方式です。以下のように表記されます。

z= r (\cos \theta + i \sin\theta)

　極形式は、近年では学習指導要領に復活していますが、筆者が学生時代だった1970年代後半を含む長い間、専門家しか知らない秘密の知識でした。

　極形式の何が便利かと言うと、複素数の掛け算が偏角の和、すなわち複素平面上の回転として表現できることです。更には、ド・モアブルの定理という御大層な名前で知られる、以下の公式を簡単に導出できます。

( \cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n \theta + i \sin n \theta

　この式を見てしまったら、複素数のべき乗はもう、極形式で表すしかありません。というわけで以下、極形式を使って解いてみます。

2016年京大文系数学第5問の解法

　条件（ロ）と、 $f(x)$ の係数が全て実数であることより、方程式 $f(x) = 0$ は１つの実数根 $x$ および 2つの虚数根 $\alpha$ 、 $\bar{ \alpha}$ を持ちます。

①実数根

　 $\rho$ を　 $f(x) =0$ の実数解とします。すると、条件（イ）より、 $\rho^3$ も $f(x) = 0$ の解あり、しかも実数です。 $f(x) = 0$ の実数解が1つしか無いことから、

\rho^3= \rho

が成り立ち、したがって $\rho$ は0か1か-1のいずれかです。

②虚数根

　次に虚数根 $\alpha$ について考察します。

　条件（イ）から導出される、 $\alpha$ が満たすべき式には、以下の2つのバリエーションがあります。

$\alpha^3$ が実数根と等しい（ケース1）
$\alpha^3$ が $\bar{\alpha }$ と等しい（ケース2）

　ケース1についてはさらに、 $\alpha^3 = 1$ の場合と、 $\alpha^3 = -1$ の場合に分かれます。なお、 $\alpha^3 = 0$ の場合は、 $\alpha$ が実数(0)になるので、除外します。

　また、 $\alpha^3 = \alpha$ の場合も、 $\alpha$ が実数になるので除外します。

　いずれの場合でも、 $| \alpha | = 1$ が成り立ちます。ケース1の場合は、明らかです。ケース2の場合、

|\alpha|^3=|\alpha|

が成り立ちますが、 $\alpha$ が0のケースを除外すると、 $| \alpha | = 1$ が成り立ちます。

　ところで、 $f(x) = 0$ の2つの虚数根 $\alpha$ および $\bar{\alpha}$ は互いに共役の関係にあるので、複素平面上において、実数軸に対して線対称の位置にあります。よって、偏角の範囲を 0 から 2π の間で考えるとき、どちらかの偏角は必ず π 未満になります。

　したがって、

\begin{aligned} \alpha = & \cos \theta + i \sin \theta \\ & (0 < \theta < \pi) \end{aligned}

と表記して一般性を失いません。

　このとき、ド・モアブルの定理により

\begin{aligned} \alpha ^3 = & \cos 3\theta + i \sin 3\theta \\ \end{aligned}

が成り立ちます。

　以下、各場合ごとに、 $\alpha$ の値を求めます。

(1) $\alpha^3 = 1$ の場合

\left \{ \begin{aligned} & \cos 3\theta = 1 \\ & \sin 3\theta = 0 \end{aligned} \right.

が成り立ちますが、 $0 < \theta < \pi$ なので $\theta = \frac{2\pi}{3}$ であり、

\begin{aligned} & \alpha = -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2} i \\ \\ & \bar{\alpha} = -\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2} i \\ \end{aligned}

となります。

(2) $\alpha^3 = -1$ の場合

\left \{ \begin{aligned} & \cos 3\theta = -1 \\ & \sin 3\theta = 0 \end{aligned} \right.

が成り立ちますが、 $0 < \theta < \pi$ なので $\theta = \frac{\pi}{3}$ であり、

\begin{aligned} & \alpha = \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2} i \\ \\ & \bar{\alpha} = \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2} i \\ \end{aligned}

となります。

(3) $\alpha^3 = \bar{\alpha}$ の場合

\left \{ \begin{aligned} & \cos 3\theta = \cos \theta \\ & \sin 3\theta = - \sin \theta \end{aligned} \right.

が成り立つので、これに三角関数の和積の公式を適用して、

\left \{ \begin{aligned} & -2\sin 2\theta \sin \theta = 0 \\ & 2\sin 2\theta \cos \theta = 0 \end{aligned} \right.

この2つの式を同時に満たすのは、 $\sin 2 \theta = 0$ の時で、その時の $\theta$ の値は、 $0 < \theta < \pi$ なので $\frac{\pi}{2}$ となります。よって、

\begin{aligned} & \alpha = i \\ & \bar{\alpha} = -i \\ \end{aligned}

です。

③解のまとめ

　以上の結果をまとめると、以下の通りです。

項番	実数根	虚数根1	虚数根2
1	1	$-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$	$-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$
2	-1	$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$	$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$
3	0	$i$	$-i$
4	1	$i$	$-i$
5	-1	$i$	$-i$