相似比を駆使する – 2010年ラサール高校 数学 第6問

辺の長さを変数において相似比から式を立てよう（Igor DrondinによるPixabayからの画像）

2024年12月26日

今回は趣向を変えて高校入試です。 2010年ラサール高校 数学 第6問 を取り上げます。問題文は以下の通りです。

図において、△ABCはAC＝10、BC＝4、∠ACB＝90°の直角三角形で、△ABDはAD＝BD、∠ADB＝90°の直角二等辺三角形である。線分BDと線分ACの交点をE、直線ABと直線CDの交点をFとするとき、次の問いに答えよ。

(1) ADの長さを求めよ。
(2) 線分の長さの比 BE：ED を求めよ。
(3) 線分の長さの比 DC：CF を求めよ。
(4) △BCFの面積を求めよ。

　ぱっと見、それほど難しくなさそうです。小問を順番に解いていきます。

小問1の解法

　これは単純に、3平方の定理を使って計算するだけです。

　まず、 AB の長さを求めます。

AB=AC2+BC2　 =102+42　 =229\begin{aligned} & \mathrm{AB} = \sqrt{ \mathrm{AC}^2 + \mathrm{BC}^2} \\ & \text{　 } = \sqrt{ 10^2 + 4^2} \\ & \text{　 } = 2 \sqrt{29} \end{aligned}

　次に、三平方の定理を △ABD に適用します。この3角形が二等辺三角形であることに注意すると、

AD=12AB　 =58\begin{aligned} & \mathrm{AD} =\frac{1}{ \sqrt{2}} \mathrm{AB} \\ & \text{　 } = \sqrt{ 58} \\ \end{aligned}

となります。変な値なのがちょっと気になりますが、とりあえず先に進みます。

小問2の解法

まず、四角形 ABCD が、 AB を直径とする円に内接することに注意します。すると明らかに、△AED と △BEC は相似で相似比は 58:4 \sqrt{58} :4 です。 BE：ED を求めたいので、

BE=xAE=y\begin{aligned} & \mathrm{BE} = x \\ & \mathrm{AE} = y \\ \end{aligned}

と置きます(図2)。

図2

　すると

ED=58−xEC=10−y\begin{aligned} & \mathrm{ED} = \sqrt{58} -x \\ & \mathrm{EC} = 10- y \\ \end{aligned}

なので

y:x=58−x:10−y=58:4\begin{aligned} y:x = \sqrt{58} -x :10- y = \sqrt{58} :4 \\ \end{aligned}

が成り立ちます。

　よって

{58x=4y4(58−x)=58(10−y) \left \{ \begin{aligned} & \sqrt{58} x = 4y \\ &4( \sqrt{58} -x) = \sqrt{58}(10-y) \\ \end{aligned} \right .

なので、これを解いて

x=4587y=587\begin{aligned} x & = \frac{4 \sqrt{58}}{7} \\ y &= \frac{58}7 \\ \end{aligned}

を得ます。

　ゆえに

BE:ED=x:58−x=4587:3587=4:3\begin{aligned} \mathrm{BE}:\mathrm{ED} & = x: \sqrt{58} -x \\ & = \frac{4 \sqrt{58}}{7} : \frac{3 \sqrt{58}}{7} \\ & = 4:3 \end{aligned}

です。

小問3の解法

　相似比を駆使してDCとCFの具体的な値が計算できそうなので、その方向で考えてみます。

　まず DC ですが、小問2を解く過程で BE および ED の長さが具体的に得られているので、△EDC ∽ △EAB であることを利用します(図3)。

図3

　小問2で

BE=4587AE=587\begin{aligned} \mathrm{BE} & = \frac{4 \sqrt{58}}{7} \\ \mathrm{AE} &= \frac{58}7 \\ \end{aligned}

であることがわかっているので、 △EDC と △EAB の相似比は

CE:BE=10−AE:BE=10−587:4587=127:4587=3:58 \begin{aligned} & \mathrm{CE} : \mathrm{BE} \\ = & 10 - \mathrm{AE} : \mathrm{BE} \\ = &10- \frac{58}7 :\frac{4 \sqrt{58}}{7} \\ = & \frac{12}7 :\frac{4 \sqrt{58}}{7} \\ = &3: \sqrt{58} \\ \end{aligned}

です。したがって

DC=358AB=358×229=32\mathrm{DC} = \frac{3}{\sqrt{58}} \mathrm{AB} = \frac{3}{\sqrt{58}} \times 2 \sqrt{29} = 3 \sqrt{2}

です。

　次に CF の長さですが、ここで △DCA ∽ △BCF であることに注意します。実際、 四角形 ABCD が円に内接するので、

∠ADC = ∠FBC

です。

　また

∠DCA = ∠DBA = 45°
∠BCF = ∠DAB = 45°

なので

∠DCA = ∠BCF = 45°

が成り立ちます(図4)。

図4

　 △DCA と △BCF の相似比は DC と BC の長さの比で、その値は

32:43\sqrt{2} :4

です。したがって

CF=432CA=2023\mathrm{CF} = \frac{4}{3 \sqrt{2}} \mathrm{CA} = \frac{20 \sqrt{2}}{3}

であり、

DC:CF=32:2023=9:20\mathrm{DC}: \mathrm{CF} = 3 \sqrt{2} : \frac{20 \sqrt{2}}{3} = 9:20

です。

小問4の解法

　本問で面積がわかっている三角形は △ABC なので、これをうまく利用できないかと考えるうちに、 AB と BF の長さの比が △ABC と △BCF の面積比だと気が付ければ勝ちです(図5)。

図5

　小問3で △DCA と △BCF の相似比は算出済みなので、 BF の長さはソッコーわかって

BF=432DA=4293\mathrm{BF} = \frac{4}{3 \sqrt{2}} \mathrm{DA} = \frac{4 \sqrt{29}}{3}

です。 AB=229 \mathrm{AB} = 2 \sqrt{29} であったので、△BCFの面積は

20×4293÷229=40320 \times \frac{4 \sqrt{29}}{3} \div 2 \sqrt{29} =\frac{40}3

です。

解法のポイント

コツをつかめば何とかなります（Anastasia GeppによるPixabayからの画像）

　本問のように線分の長さや比を求める問題の場合、使用するツールは主に以下の通りです。

  • 相似、合同
  • 面積比
  • 三平方の定理

　また、小問2で見たように、図形が円に内接している場合は見逃さないようにしましょう。円周角などを使って相似関係を導くことが出来ます。

　本問では出てきませんでしたが、何かに平行な補助線を引くというのも、重要な手法です。

　難関校の図形の問題は、角度の関係性などをわかりにくくして難易度を挙げているので、これらの手法を積極的に試してみてください。

　小問2のように、いろいろな辺の長さが絡むような場合には、登場するすべての量を躊躇せずどんどん変数に置いて、方程式を立ててみましょう。変数がたくさんあっても、あとで代入などで消せばよいのです。

　辺の長さを求める問題では、代数的なアプローチも有効です。いろいろ悩む前に、まずは書き下してみましょう。

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Posted by mine_kikaku