空間分割の無理ゲー問題 – 2019年東工大 数学 第4問
今回取り上げる 2019年東工大 数学 第4問 は、解き方がちょっと見当もつきません。こりゃ無理ゲーってレベルじゃねえぞ的な超難問です。
問題文は結構長いので、引用は断念しました。ググると問題文を見つけることが出来ますので、そちらをご覧ください。
問題の内容は、以下の通りです。
3次元空間内に複数の平面 H_1, \cdot \cdot \cdot, H_n があるとします。このとき、これらの平面で分割されて出来る領域の数を T(H_1, \cdot \cdot \cdot, H_n) とします。さらに、普通に空間座標 (x,y,z) が与えられているとします。
以下、 T(H_1, \cdot \cdot \cdot, H_n) の例です。
n= 1 のとき
H_1 をどのように選んでも、明らかに T(H_1) = 2 です。
n =2 のとき
H_1, H_2 が平行でなければ、 T(H_1, H_2) = 4 です。 H_1, H_2 が平行ならば、 T(H_1, H_2) = 3 です。
n=3 のとき
例えば
\begin{aligned}
& H_1 : x=0 \\
& H_2 : y=0 \\
& H_3:z=0
\end{aligned}の場合、 T(H_1, H_2,H_3) = 8 です。
また、
\begin{aligned}
& H_1 : x=0 \\
& H_2 : y=0 \\
& H_3:x+y=1
\end{aligned}の場合、 T(H_1, H_2,H_3) = 7 です。
さらに、
\begin{aligned}
& H_1 : x=0 \\
& H_2 : x=1 \\
& H_3 : y=0
\end{aligned}の場合、 T(H_1, H_2,H_3) = 6 です。
n = 4 のとき
\begin{aligned}
& H_1 : x=0 \\
& H_2 : y=0 \\
& H_3 : z=0 \\
& H_4 : x+y+z=1
\end{aligned}のとき、 T(H_1, H_2,H_3, H_4) = 15 です。一般にどうなのかは、設問の中で訊かれます。
本問には、以下の小問が設定されています。
(1) 各 n に対して T(H_1, \cdot \cdot \cdot, H_n) のとりうる値のうち最も大きいものを求めよ。
(2) 各 n に対して T(H_1, \cdot \cdot \cdot, H_n) のとりうる値のうち2番目に大きいものを求めよ。ただし n \geqq 2 とする。
(3) 各 n に対して T(H_1, \cdot \cdot \cdot, H_n) のとりうる値のうち3番目に大きいものを求めよ。ただし n \geqq 3 とする。
2次元ならともかく、3次元で空間分割数を聞かれても、どうやって求めればよいのか、全くイメージできません。どう考えても捨て問ですが、逃げちゃだめだということで、攻略方法を検討してみます。