平方根の大小
白井市 印西市の家庭教師 事業を展開する峰企画のブログです。今回取り上げるのは、「平方根の大小」です。
一般に、 0 < a< b のとき、 \sqrt a < \sqrt b です。これはどの生徒さんも理解していて、「 \sqrt5 と \sqrt 7 ではどちらが大きいか」といった問題には、きちんと正答してくれています。
ところが、「0.1と \sqrt{0.1} ではどちらが大きいか」と言った問題に対しては、皆さん0.1のほうが大きいと答えます。
2と \sqrt 2 では2のほうが大きいので、このように答えてしまうのはよくわかりますが、これが平方根における大きな躓きの石の一つです。
0 < a < 1 のとき、 a < \sqrt a になる理由ですが、まず、 a < 1 であることから、
\sqrt a < \sqrt 1 = 1
です。したがって、
\begin{aligned}
& \sqrt a - a \\
& = \sqrt a - \sqrt a ^2 \\
& = \sqrt a (1 - \sqrt a ) > 0
\end{aligned}なので、 \sqrt a > a が証明できました。
生徒さん達にはこんな説明をしました。有無を言わさず「そういうものだ」で押し切ってもよいのですが、感覚的にずれていても、理屈が有ってそうなっているということを理解してもらうことは、重要であると考えています。
何であれ背後には必ずきちんと理屈が有るということを知ってもらうことは大切ですし、今回の証明方法は他にも応用可能だからです。
後は実践です。生徒さん達には例の「反復」で、計算力をつけてもらっています。
このように、生徒さんたちの躓きの石を、１つずつ取り除いていきたいと思っています。
