毎度おなじみ素数のべき乗問題 – 2021年京大 数学 第6問 小問1
2021年京大 数学 第6問 はお互いに関連の無い2つの小問からできています。問題文は以下の通りです。
次の各問に答えよ。
問１ n を2以上の整数とする。 3^n - 2^n が素数ならば n も素数であることを示せ。
問２ a を1より大きい定数とする。微分可能な関数 f(x) が f(a) = af(1) を満たすとき、曲線 y=f(x) の接線で原点 (0,0) を通るものが存在することを示せ。
関連の無い小問で構成された問題と言うのは、高校入試の問題では散見しますが、大学の2次試験では珍しいと思います。
本稿では、小問1を取り上げます。小問2の解法はこちらをご覧ください。
小問１の解法
ある数が素数であることを証明することより、素数でないことを証明するほうが簡単である（気がする）ので、対偶を証明することを目指します。すなわち、
n が素数でないならば、 3^n - 2^n も素数でない
の証明を目指します。
\begin{aligned}
& 3^n - 2^n = (3-2) \sum_{k=0}^{n-1}2^k3^{n-1-k} \\
& \text{ }= \sum_{k=0}^{n-1} 2^k3^{n-1-k}
\end{aligned}なので、 n が素数でないとき、
\sum_{k=0}^{n-1} 2^k3^{n-1-k}が因数分解できるとか、3の倍数になるとかが言えるのではないかと期待しましたが、簡単には導出できなさそうです。
そこで、 n = ml (m,l >1 は自然数) と置いてみます。すると、
\begin{aligned}
& 3^n -2^n \\
& = (3^m)^l - (2^m)^l \\
& = (3^m - 2^m)\sum_{k=0}^{l-1} (2^m)^k (3^m)^{l-1-k}
\end{aligned}と因数分解できますが、 3^m - 2^m も \sum_{k=0}^{l-1} (2^m)^k (3^m)^{l-1-k} も明らかに、1より大きい自然数です。
ゆえに、題意が証明できました。
解法のポイント
ポイントの第1は、対偶を証明しようと思いつくことですが、これは容易だと思います。
次のポイントは設問の仮定に従って n = ml と置いたうえで、 a^l - b^l の因数分解を適用してみようと思いつくことです。これに気が付ければ、変なトラップもなく一気に解けることと思います。
一見難解ですが、ワンアイデアでさくっと解ける本問。整数のべき乗に関する問題を多く解いておくことで、容易にアイデアにたどり着くことが出来るようになると思います。