1の三乗根を応用した多項式の割り算 – 2003年京大数学第4問

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2021年12月14日2023年2月28日

　2003年京大数学第4問は多項式の割り算問題です。問題文は以下の通りです。

$f(x)=(x^{100}+1)^{100}+(x^2+1)^{100}+1$ は $x^2+x+1$ で割り切れるか。

　京大の入試問題は相変わらず問題文が簡潔ですっきりしていて、好感度が高いです。これでさくっと解ければ言うことありませんが、早速見ていきましょう。

1. 2003年京大数学第４問の解法
2. 2003年京大数学第４問の別解
3. 解法のポイント

2003年京大数学第４問の解法

1の三乗根についてのおさらい

　多項式 $x^2 +x +1$ と言えば、1の三乗根 $\omega$ です。

\omega = \cos \frac{2 \pi}{3} + i \sin\frac{2 \pi}{3}

と置くとき、 $\omega$ およびその共役複素数 $\bar {\omega }$ は2次方程式

x^2 + x + 1 = 0

の解であり、かつ $\omega^2 = \bar{ \omega}$ です。さらに、

\omega^3 = 1

が成り立ちます。

因数定理の応用

　以上、1の三乗根 $\omega$ の性質についておさらいしたところで、問題文に戻ります。

　ところが因数定理により、多項式 $f(x)$ が $x^2+x+1$ で割り切れるかどうかは、 $f(\omega)$ および $f(\bar{\omega})$ が0と等しいかどうかで判定できます。すなわち、もし $f(\omega) = f(\bar{\omega}) = 0$ ならば、因数定理により $f(x)$ は $(x-\omega)(x- \bar{\omega}) = x^2 + x +1$ で割り切れます。

　一方、もし $f(\omega) \ne 0$ ならば、 $f(x)$ は $x- \omega$ を因数に持たないので、これを因数にもつ $x^2 + x +1$ で割り切れることはありません。 $f(\bar{\omega}) \ne 0$ の場合も同様です。

　そこで、早速判定してみます。

\begin{aligned} f(\omega) &= (\omega^{100}+1)^{100}+(\omega^2+1)^{100}+1 \\ & = (\omega^{99} \cdot \omega+1)^{100}+(-\omega)^{100}+1 \\ & = (\omega+1)^{100}+\omega^{100}+1 \\ & = (-\omega^2)^{100}+\omega^{100} +1 \\ & = \omega^{198} \cdot \omega^2 + \omega^{99} \cdot \omega+1 \\ & = \omega^2 + \omega+1 = 0 \end{aligned}

となります。また、 $f(x)$ は実数係数多項式なので、

f(\bar{\omega}) = \overline{ f(\omega) } = 0

が成り立ちます。ゆえに、 $f(x)$ は $x^2+x+1$ で割り切れます。

実数係数多項式の範囲で割り切れることの確認

　以上、あっさり解けましたが、京大の問題にしては簡単すぎる気がします。何か見落としはないかと考えた時に、一点気になるのが、 $f(x)$ が $x^2+x+1$ で割り切れるのは複素数係数多項式の世界であって、実数係数多項式の範囲では割り切れることを証明したことになっていないのではないか、と言う点です。