級数和の極限は東大でも積分挟み撃ち – 2001年東大数学後期第3問

ぐるぐる回ります(Mehmet Turgut KirkgozによるPixabayからの画像)

2022年1月23日2023年2月27日

$T_k$ を具体的な関数値で上下から評価する

ターゲットの集合を $f^{-1}(y)$ の値域の和集合で表す

　I が第1象限と第4象限をまたがないときは $0 \leqq \alpha$ 、またぐときは $\alpha < 0$ であるとします。すると、 $P(x)$ の定義から、

P(x) \in I \\ \Leftrightarrow \\ \text{ある整数} n \text {が存在して} \\ \alpha + 2 \pi n \leqq 2\pi f(x) \leqq \beta + 2 \pi n \\ \Leftrightarrow \\ \text{ある整数} n \text {が存在して} \\ \frac{\alpha}{2 \pi} + n \leqq f(x) \leqq \frac{\beta }{2 \pi} + n \\ \Leftrightarrow \\ \text{ある整数} n \text {が存在して} \\ f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +n) \leqq x \leqq f^{-1}(\frac{\beta }{2 \pi} + n ) \\

です。

　よって、

k \leqq x \leqq k+1 \text{ かつ } P(x) \in I \\ \Leftrightarrow \\ k \leqq x \leqq k+1 \\ \text{ かつ } \\ \text{ある整数} n \text {が存在して} \\ f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +n) \leqq x \leqq f^{-1}(\frac{\beta }{2 \pi} + n ) \\

　です。

　ここで、 $\alpha$ の正負に場合分けして考えます。

$\alpha \geqq 0$ のとき

　 $\alpha \geqq 0$ のとき、任意の整数 $n$ に対して、

2 n \pi \leqq \alpha + 2 n \pi < \beta + 2 n \pi < 2 (n+1) \pi

なので、

\begin{aligned} & f^{-1}(n) \\ & \leqq f^{-1}( \frac{\alpha}{2 \pi} + n ) < f^{-1}( \frac{\beta }{2 \pi}+ n) \\ & < f^{-1}(n+1) \end {aligned}

です。よって、 $f(k),f(k+1)$ がともに整数であることに注意すると、

\begin{aligned} & k = f^{-1}(f(k) ) \\ & \leqq f^{-1}( \frac{\alpha}{2 \pi} + f(k) ) < f^{-1}( \frac{\beta }{2 \pi}+ f(k)) \\ & < f^{-1}(f(k) +1) \\ & < f^{-1}( \frac{\alpha}{2 \pi} + f(k)+1 ) < f^{-1}( \frac{\beta }{2 \pi}+ f(k)+1) \\ & < f^{-1}(f(k) +2) \\ & < f^{-1}( \frac{\alpha}{2 \pi} + f(k)+2 ) < f^{-1}( \frac{\beta }{2 \pi}+ f(k)+2) \\ & < f^{-1}(f(k) +3) \\ & \text{　　　　　　　} \vdots \\ & < f^{-1}(f(k+1) -1) \\ & < f^{-1}( \frac{\alpha}{2 \pi} + f(k+1)-1 ) \\ & \text{　　　　　　　} < f^{-1}( \frac{\beta }{2 \pi}+ f(k+1) -1) \\ & < f^{-1}(f(k+1) ) = k+1 \end {aligned}

です。

　したがって、

k \leqq x \leqq k+1 \text{ かつ }P(x) \in I \\ \Leftrightarrow \\ \text{ある整数 } f(k) \leqq n \leqq f(k+1) - 1 \\ \text { が存在して} \\ f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +n) \leqq x \leqq f^{-1}(\frac{\beta }{2 \pi} + n ) \\ \Leftrightarrow \\ \text{ある整数 } 0 \leqq m \leqq f(k+1) -f(k) - 1 \\ \text { が存在して} \\ f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +f(k) +m) \leqq x \\ \leqq f^{-1}(\frac{\beta }{2 \pi} + f(k) +m ) \\

なので、

\begin{aligned} & \{ x | k \leqq x \leqq k+1, P(x) \in I \} \\ = & \bigcup_{m=0}^{f(k+1) - f(k)-1} \{x |f^{-1}( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \leqq x \\ & \text{　　　　　} \leqq f^{-1}( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} )\} \\ \end{aligned}

が成り立ちます。

$\alpha < 0$ のとき

　 $\alpha < 0$ のとき、任意の整数 $n$ に対して、

\alpha + 2 n\pi < 2 n\pi < \beta + 2 n \pi < \alpha + 2 (n+1)\pi

なので、

\begin{aligned} f^{-1} (\frac{\alpha }{2 \pi}+ n) < f^{-1}(n) < f^{-1} ( \frac{\beta }{2 \pi} + n ) \\ < f^{-1} (\frac{\alpha }{2 \pi}+ n+1) \end{aligned}

です。よって、

\begin{aligned} & k = f^{-1}(f(k) ) \\ & < f^{-1}( \frac{\beta}{2 \pi} + f(k) ) \\ & < f^{-1}( \frac{\alpha}{2 \pi} + f(k)+1 ) < f^{-1}( \frac{\beta }{2 \pi}+ f(k)+1) \\ & < f^{-1}( \frac{\alpha}{2 \pi} + f(k)+2 ) < f^{-1}( \frac{\beta }{2 \pi}+ f(k)+2) \\ & \text{　　　　　　　} \vdots \\ & < f^{-1}(f(k+1) -1) \\ & < f^{-1}( \frac{\alpha}{2 \pi} + f(k+1)-1 ) \\ & \text{　　　　　　　} < f^{-1}( \frac{\beta }{2 \pi}+ f(k+1) -1) \\ & < f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +f(k+1) ) < f^{-1}(f(k+1)) \\ & = k+1 \end {aligned}

です。

　したがって、

k \leqq x \leqq k+1 \text{ かつ }P(x) \in I \\ \text { }\\ \Leftrightarrow \\ \text { }\\ \text{ある整数 } f(k) +1\leqq n \leqq f(k+1) - 1 \\ \text { が存在して} \\ f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +n) \leqq x \leqq f^{-1}(\frac{\beta }{2 \pi} + n ) \\ \text{または} \\ k \leqq x \leqq f^{-1}(\frac{\beta }{2 \pi} + f(k)) \\ \text{または} \\ f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +f(k+1)) \leqq x \leqq k+1) \\ \text { }\\ \Leftrightarrow \\ \text { }\\ \text{ある整数 } 1 \leqq m \leqq f(k+1) -f(k) - 1 \\ \text { が存在して} \\ f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +f(k) +m) \leqq x \\ \leqq f^{-1}(\frac{\beta }{2 \pi} + f(k) +m ) \\ \text{または} \\ k \leqq x \leqq f^{-1}(\frac{\beta }{2 \pi} + f(k)) \\ \text{または} \\ f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +f(k+1)) \leqq x \leqq k+1) \\

であり、

\begin{aligned} & \{ x | k \leqq x \leqq k+1, P(x) \in I \} \\ = & \bigcup_{m=1}^{f(k+1) -f(k)-1} \{x |f^{-1}( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \leqq x \\ & \text{　　　　　} \leqq f^{-1}( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} )\} \\ & \text{　　} \bigcup \{x |k \leqq x \leqq f^{-1}(\frac{\beta}{2\pi} + f(k) ) \} \\ & \text{　　} \bigcup \{x | f^{-1}( \frac{\alpha}{2\pi} + f(k+1)) \leqq x \leqq k+1\} \\ \end{aligned}

が成り立ちます。

$T_k$ を　 $f^{-1}(y)$ の値で上下から評価する

　よって $0 \leqq \alpha$ のとき、

\begin{aligned} T_k & = \sum_{m=0}^{f(k+1)-f(k)-1} \{ f^{-1}( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} ) \\ & \text{　　　　　} - f^{-1}( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \} \end{aligned}

です。また、 $\alpha < 0$ のとき、

\begin{aligned} T_k & = \sum_{m=1}^{f(k+1)-f(k)-1} \{ f^{-1}( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} ) \\ & \text{　　　　　} - f^{-1}( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \} \\ & + f^{-1}( f(k)+ \frac{\beta}{2\pi} ) - k \\ & + k+1 - f^{-1}( f(k+1) + \frac{\alpha}{2\pi}) \\ \end{aligned}

ですが、 $\alpha < 0$ であることから $k = f^{-1}(f(k)) > f^{-1}(f(k) +\frac{\alpha}{2 \pi} )$ なので

\begin{aligned} & f^{-1}( f(k)+ \frac{\beta}{2\pi} ) - k \\ < & f^{-1}( f(k)+ \frac{\beta}{2\pi} ) - f^{-1}( f(k)+ \frac{\alpha}{2\pi} ) \end{aligned}

です。また、 $k+1 = f^{-1}(f(k+1)) < f^{-1}(f(k+1) + \frac{\beta}{2 \pi } )$ なので

\begin{aligned} & k+1 - f^{-1}( f(k+1) + \frac{\alpha}{2\pi}) \\ < & f^{-1}(f(k+1) + \frac{\beta}{2 \pi }) - f^{-1}( f(k+1) + \frac{\alpha}{2\pi}) \end{aligned}

です。よって

\begin{aligned} T_k & = \sum_{m=1}^{f(k+1)-f(k)-1} \{ f^{-1}( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} ) \\ & \text{　　　　　} - f^{-1}( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \} \\ & + f^{-1}( f(k)+ \frac{\beta}{2\pi} ) - k \\ & + k+1 - f^{-1}( f(k+1) + \frac{\alpha}{2\pi}) \\ & < \sum_{m=0}^{f(k+1) -f(k)} \{ f^{-1}( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} ) \\ & \text{　　　　　} - f^{-1}( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \} \\ \end{aligned}

かつ

\begin{aligned} T_k & = \sum_{m=1}^{f(k+1)-f(k)-1} \{ f^{-1}( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} ) \\ & \text{　　　　　} - f^{-1}( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \} \\ & + f^{-1}( f(k)+ \frac{\beta}{2\pi} ) - k \\ & + k+1 - f^{-1}( f(k+1) + \frac{\alpha}{2\pi}) \\ & > \sum_{m=1}^{f(k+1)-f(k)-1} \{ f^{-1}( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} ) \\ & \text{　　　　　} - f^{-1}( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \} \\ \end{aligned}

が成り立ちます。

　この不等式は、 $0 \leqq \alpha$ のときも成り立ちます。

平均値の定理を適用する

　式に関数値の差が現れたので、セオリー通り平均値の定理を適用してみます。 $f^{-1} (y)$ は微分可能なので、各 $k,m$ に対して

f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi} < c_{k,m} < f(k) +m +\frac{\beta}{2\pi}

である実数 $c_{k,m}$ が存在して、

\begin{aligned} & f^{-1} ( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} ) \\ & - f^{-1} ( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \\ =& (\frac{\beta}{2\pi} -\frac{\alpha}{2\pi}) \frac{d }{dy} f^{-1} (c_{k,m}) \\ =& \frac{L}{2\pi}\frac{d }{dy} f^{-1} (c_{k,m}) \\ \end{aligned}

が成り立ちます。ここで $\beta -\alpha = L$ であることを適用しています。

　よって $T_k$ は、

\begin{aligned} & \frac{L}{2\pi}\sum_{m=1}^{f(k+1)-f(k)-1} \frac{ d }{dy}f^{-1}( c_{k,m}) \\ < & T_k \\ < & \frac{L}{2\pi}\sum_{m=0}^{f(k+1)-f(k)} \frac{ d }{dy}f^{-1}( c_{k,m}) \end{aligned}

と評価できます。

次ページ→積分挟み撃ちを適用して

T_k

を上から評価します。

東大2001年

Posted by mine_kikaku

T_k を具体的な関数値で上下から評価する

ターゲットの集合を f^{-1}(y) の値域の和集合で表す

\alpha \geqq 0 のとき

\alpha < 0 のとき

T_k を f^{-1}(y) の値で上下から評価する

平均値の定理を適用する

$T_k$ を具体的な関数値で上下から評価する

ターゲットの集合を $f^{-1}(y)$ の値域の和集合で表す

$\alpha \geqq 0$ のとき

$\alpha < 0$ のとき

$T_k$ を　 $f^{-1}(y)$ の値で上下から評価する