級数和の極限は東大でも積分挟み撃ち – 2001年東大 数学 後期 第3問

ぐるぐる回ります(Mehmet Turgut KirkgozによるPixabayからの画像)

2023年2月27日

Tk T_k を具体的な関数値で上下から評価する

ターゲットの集合を f1(y) f^{-1}(y) の値域の和集合で表す

 I が第1象限と第4象限をまたがないときは 0α 0 \leqq \alpha 、またぐときは α<0 \alpha < 0 であるとします。すると、 P(x) P(x) の定義から、

P(x)Iある整数nが存在してα+2πn2πf(x)β+2πnある整数nが存在してα2π+nf(x)β2π+nある整数nが存在してf1(α2π+n)xf1(β2π+n)P(x) \in I \\ \Leftrightarrow \\ \text{ある整数} n \text {が存在して} \\ \alpha + 2 \pi n \leqq 2\pi f(x) \leqq \beta + 2 \pi n \\ \Leftrightarrow \\ \text{ある整数} n \text {が存在して} \\ \frac{\alpha}{2 \pi} + n \leqq f(x) \leqq \frac{\beta }{2 \pi} + n \\ \Leftrightarrow \\ \text{ある整数} n \text {が存在して} \\ f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +n) \leqq x \leqq f^{-1}(\frac{\beta }{2 \pi} + n ) \\

です。

 よって、

kxk+1 かつ P(x)Ikxk+1 かつ ある整数nが存在してf1(α2π+n)xf1(β2π+n)k \leqq x \leqq k+1 \text{ かつ } P(x) \in I \\ \Leftrightarrow \\ k \leqq x \leqq k+1 \\ \text{ かつ } \\ \text{ある整数} n \text {が存在して} \\ f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +n) \leqq x \leqq f^{-1}(\frac{\beta }{2 \pi} + n ) \\

 です。

 ここで、 α \alpha の正負に場合分けして考えます。

α0 \alpha \geqq 0 のとき

  α0 \alpha \geqq 0 のとき、任意の整数 n n に対して、

2nπα+2nπ<β+2nπ<2(n+1)π2 n \pi \leqq \alpha + 2 n \pi < \beta + 2 n \pi < 2 (n+1) \pi

なので、

f1(n)f1(α2π+n)<f1(β2π+n)<f1(n+1)\begin{aligned} & f^{-1}(n) \\ & \leqq f^{-1}( \frac{\alpha}{2 \pi} + n ) < f^{-1}( \frac{\beta }{2 \pi}+ n) \\ & < f^{-1}(n+1) \end {aligned}

です。よって、f(k),f(k+1) f(k),f(k+1) がともに整数であることに注意すると、

k=f1(f(k))f1(α2π+f(k))<f1(β2π+f(k))<f1(f(k)+1)<f1(α2π+f(k)+1)<f1(β2π+f(k)+1)<f1(f(k)+2)<f1(α2π+f(k)+2)<f1(β2π+f(k)+2)<f1(f(k)+3)       <f1(f(k+1)1)<f1(α2π+f(k+1)1)       <f1(β2π+f(k+1)1)<f1(f(k+1))=k+1\begin{aligned} & k = f^{-1}(f(k) ) \\ & \leqq f^{-1}( \frac{\alpha}{2 \pi} + f(k) ) < f^{-1}( \frac{\beta }{2 \pi}+ f(k)) \\ & < f^{-1}(f(k) +1) \\ & < f^{-1}( \frac{\alpha}{2 \pi} + f(k)+1 ) < f^{-1}( \frac{\beta }{2 \pi}+ f(k)+1) \\ & < f^{-1}(f(k) +2) \\ & < f^{-1}( \frac{\alpha}{2 \pi} + f(k)+2 ) < f^{-1}( \frac{\beta }{2 \pi}+ f(k)+2) \\ & < f^{-1}(f(k) +3) \\ & \text{       } \vdots \\ & < f^{-1}(f(k+1) -1) \\ & < f^{-1}( \frac{\alpha}{2 \pi} + f(k+1)-1 ) \\ & \text{       } < f^{-1}( \frac{\beta }{2 \pi}+ f(k+1) -1) \\ & < f^{-1}(f(k+1) ) = k+1 \end {aligned}

です。

 したがって、

kxk+1 かつ P(x)Iある整数 f(k)nf(k+1)1 が存在してf1(α2π+n)xf1(β2π+n)ある整数 0mf(k+1)f(k)1 が存在してf1(α2π+f(k)+m)xf1(β2π+f(k)+m)k \leqq x \leqq k+1 \text{ かつ }P(x) \in I \\ \Leftrightarrow \\ \text{ある整数 } f(k) \leqq n \leqq f(k+1) - 1 \\ \text { が存在して} \\ f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +n) \leqq x \leqq f^{-1}(\frac{\beta }{2 \pi} + n ) \\ \Leftrightarrow \\ \text{ある整数 } 0 \leqq m \leqq f(k+1) -f(k) - 1 \\ \text { が存在して} \\ f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +f(k) +m) \leqq x \\ \leqq f^{-1}(\frac{\beta }{2 \pi} + f(k) +m ) \\

なので、

{xkxk+1,P(x)I}=m=0f(k+1)f(k)1{xf1(f(k)+m+α2π)x     f1(f(k)+m+β2π)}\begin{aligned} & \{ x | k \leqq x \leqq k+1, P(x) \in I \} \\ = & \bigcup_{m=0}^{f(k+1) - f(k)-1} \{x |f^{-1}( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \leqq x \\ & \text{     } \leqq f^{-1}( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} )\} \\ \end{aligned}

が成り立ちます。

α<0 \alpha < 0 のとき

  α<0 \alpha < 0 のとき、 任意の整数 n n に対して、

α+2nπ<2nπ<β+2nπ<α+2(n+1)π\alpha + 2 n\pi < 2 n\pi < \beta + 2 n \pi < \alpha + 2 (n+1)\pi

なので、

f1(α2π+n)<f1(n)<f1(β2π+n)<f1(α2π+n+1)\begin{aligned} f^{-1} (\frac{\alpha }{2 \pi}+ n) < f^{-1}(n) < f^{-1} ( \frac{\beta }{2 \pi} + n ) \\ < f^{-1} (\frac{\alpha }{2 \pi}+ n+1) \end{aligned}

です。よって、

k=f1(f(k))<f1(β2π+f(k))<f1(α2π+f(k)+1)<f1(β2π+f(k)+1)<f1(α2π+f(k)+2)<f1(β2π+f(k)+2)       <f1(f(k+1)1)<f1(α2π+f(k+1)1)       <f1(β2π+f(k+1)1)<f1(α2π+f(k+1))<f1(f(k+1))=k+1\begin{aligned} & k = f^{-1}(f(k) ) \\ & < f^{-1}( \frac{\beta}{2 \pi} + f(k) ) \\ & < f^{-1}( \frac{\alpha}{2 \pi} + f(k)+1 ) < f^{-1}( \frac{\beta }{2 \pi}+ f(k)+1) \\ & < f^{-1}( \frac{\alpha}{2 \pi} + f(k)+2 ) < f^{-1}( \frac{\beta }{2 \pi}+ f(k)+2) \\ & \text{       } \vdots \\ & < f^{-1}(f(k+1) -1) \\ & < f^{-1}( \frac{\alpha}{2 \pi} + f(k+1)-1 ) \\ & \text{       } < f^{-1}( \frac{\beta }{2 \pi}+ f(k+1) -1) \\ & < f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +f(k+1) ) < f^{-1}(f(k+1)) \\ & = k+1 \end {aligned}

です。

 したがって、

kxk+1 かつ P(x)I  ある整数 f(k)+1nf(k+1)1 が存在してf1(α2π+n)xf1(β2π+n)またはkxf1(β2π+f(k))またはf1(α2π+f(k+1))xk+1)  ある整数 1mf(k+1)f(k)1 が存在してf1(α2π+f(k)+m)xf1(β2π+f(k)+m)またはkxf1(β2π+f(k))またはf1(α2π+f(k+1))xk+1)k \leqq x \leqq k+1 \text{ かつ }P(x) \in I \\ \text { }\\ \Leftrightarrow \\ \text { }\\ \text{ある整数 } f(k) +1\leqq n \leqq f(k+1) - 1 \\ \text { が存在して} \\ f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +n) \leqq x \leqq f^{-1}(\frac{\beta }{2 \pi} + n ) \\ \text{または} \\ k \leqq x \leqq f^{-1}(\frac{\beta }{2 \pi} + f(k)) \\ \text{または} \\ f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +f(k+1)) \leqq x \leqq k+1) \\ \text { }\\ \Leftrightarrow \\ \text { }\\ \text{ある整数 } 1 \leqq m \leqq f(k+1) -f(k) - 1 \\ \text { が存在して} \\ f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +f(k) +m) \leqq x \\ \leqq f^{-1}(\frac{\beta }{2 \pi} + f(k) +m ) \\ \text{または} \\ k \leqq x \leqq f^{-1}(\frac{\beta }{2 \pi} + f(k)) \\ \text{または} \\ f^{-1}(\frac{\alpha}{2 \pi} +f(k+1)) \leqq x \leqq k+1) \\

であり、

{xkxk+1,P(x)I}=m=1f(k+1)f(k)1{xf1(f(k)+m+α2π)x     f1(f(k)+m+β2π)}  {xkxf1(β2π+f(k))}  {xf1(α2π+f(k+1))xk+1}\begin{aligned} & \{ x | k \leqq x \leqq k+1, P(x) \in I \} \\ = & \bigcup_{m=1}^{f(k+1) -f(k)-1} \{x |f^{-1}( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \leqq x \\ & \text{     } \leqq f^{-1}( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} )\} \\ & \text{  } \bigcup \{x |k \leqq x \leqq f^{-1}(\frac{\beta}{2\pi} + f(k) ) \} \\ & \text{  } \bigcup \{x | f^{-1}( \frac{\alpha}{2\pi} + f(k+1)) \leqq x \leqq k+1\} \\ \end{aligned}

が成り立ちます。

Tk T_k を f1(y) f^{-1}(y) の値で上下から評価する

 よって0α 0 \leqq \alpha のとき、

Tk=m=0f(k+1)f(k)1{f1(f(k)+m+β2π)     f1(f(k)+m+α2π)}\begin{aligned} T_k & = \sum_{m=0}^{f(k+1)-f(k)-1} \{ f^{-1}( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} ) \\ & \text{     } - f^{-1}( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \} \end{aligned}

です。また、α<0 \alpha < 0 のとき、

Tk=m=1f(k+1)f(k)1{f1(f(k)+m+β2π)     f1(f(k)+m+α2π)}+f1(f(k)+β2π)k+k+1f1(f(k+1)+α2π)\begin{aligned} T_k & = \sum_{m=1}^{f(k+1)-f(k)-1} \{ f^{-1}( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} ) \\ & \text{     } - f^{-1}( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \} \\ & + f^{-1}( f(k)+ \frac{\beta}{2\pi} ) - k \\ & + k+1 - f^{-1}( f(k+1) + \frac{\alpha}{2\pi}) \\ \end{aligned}

ですが、 α<0 \alpha < 0 であることから k=f1(f(k))>f1(f(k)+α2π) k = f^{-1}(f(k)) > f^{-1}(f(k) +\frac{\alpha}{2 \pi} ) なので

f1(f(k)+β2π)k<f1(f(k)+β2π)f1(f(k)+α2π)\begin{aligned} & f^{-1}( f(k)+ \frac{\beta}{2\pi} ) - k \\ < & f^{-1}( f(k)+ \frac{\beta}{2\pi} ) - f^{-1}( f(k)+ \frac{\alpha}{2\pi} ) \end{aligned}

です。また、 k+1=f1(f(k+1))<f1(f(k+1)+β2π) k+1 = f^{-1}(f(k+1)) < f^{-1}(f(k+1) + \frac{\beta}{2 \pi } ) なので

k+1f1(f(k+1)+α2π)<f1(f(k+1)+β2π)f1(f(k+1)+α2π)\begin{aligned} & k+1 - f^{-1}( f(k+1) + \frac{\alpha}{2\pi}) \\ < & f^{-1}(f(k+1) + \frac{\beta}{2 \pi }) - f^{-1}( f(k+1) + \frac{\alpha}{2\pi}) \end{aligned}

です。よって

Tk=m=1f(k+1)f(k)1{f1(f(k)+m+β2π)     f1(f(k)+m+α2π)}+f1(f(k)+β2π)k+k+1f1(f(k+1)+α2π)<m=0f(k+1)f(k){f1(f(k)+m+β2π)     f1(f(k)+m+α2π)}\begin{aligned} T_k & = \sum_{m=1}^{f(k+1)-f(k)-1} \{ f^{-1}( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} ) \\ & \text{     } - f^{-1}( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \} \\ & + f^{-1}( f(k)+ \frac{\beta}{2\pi} ) - k \\ & + k+1 - f^{-1}( f(k+1) + \frac{\alpha}{2\pi}) \\ & < \sum_{m=0}^{f(k+1) -f(k)} \{ f^{-1}( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} ) \\ & \text{     } - f^{-1}( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \} \\ \end{aligned}

かつ

Tk=m=1f(k+1)f(k)1{f1(f(k)+m+β2π)     f1(f(k)+m+α2π)}+f1(f(k)+β2π)k+k+1f1(f(k+1)+α2π)>m=1f(k+1)f(k)1{f1(f(k)+m+β2π)     f1(f(k)+m+α2π)}\begin{aligned} T_k & = \sum_{m=1}^{f(k+1)-f(k)-1} \{ f^{-1}( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} ) \\ & \text{     } - f^{-1}( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \} \\ & + f^{-1}( f(k)+ \frac{\beta}{2\pi} ) - k \\ & + k+1 - f^{-1}( f(k+1) + \frac{\alpha}{2\pi}) \\ & > \sum_{m=1}^{f(k+1)-f(k)-1} \{ f^{-1}( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} ) \\ & \text{     } - f^{-1}( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \} \\ \end{aligned}

が成り立ちます。

 この不等式は、 0α 0 \leqq \alpha のときも成り立ちます。

平均値の定理を適用する

 式に関数値の差が現れたので、セオリー通り平均値の定理を適用してみます。 f1(y) f^{-1} (y) は微分可能なので、各 k,m k,m に対して

f(k)+m+α2π<ck,m<f(k)+m+β2π f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi} < c_{k,m} < f(k) +m +\frac{\beta}{2\pi}

である実数 ck,mc_{k,m} が存在して、

f1(f(k)+m+β2π)f1(f(k)+m+α2π)=(β2πα2π)ddyf1(ck,m)=L2πddyf1(ck,m)\begin{aligned} & f^{-1} ( f(k)+ m+\frac{\beta}{2\pi} ) \\ & - f^{-1} ( f(k) + m +\frac{\alpha}{2\pi}) \\ =& (\frac{\beta}{2\pi} -\frac{\alpha}{2\pi}) \frac{d }{dy} f^{-1} (c_{k,m}) \\ =& \frac{L}{2\pi}\frac{d }{dy} f^{-1} (c_{k,m}) \\ \end{aligned}

が成り立ちます。ここで βα=L \beta -\alpha = L であることを適用しています。

 よって Tk T_k は、

L2πm=1f(k+1)f(k)1ddyf1(ck,m)<Tk<L2πm=0f(k+1)f(k)ddyf1(ck,m)\begin{aligned} & \frac{L}{2\pi}\sum_{m=1}^{f(k+1)-f(k)-1} \frac{ d }{dy}f^{-1}( c_{k,m}) \\ < & T_k \\ < & \frac{L}{2\pi}\sum_{m=0}^{f(k+1)-f(k)} \frac{ d }{dy}f^{-1}( c_{k,m}) \end{aligned}

と評価できます。

東大2001年

Posted by mine_kikaku