座標系で図形を回転させる鬼問題-2022年千葉県公立高 数学 第2問(3)

2022年3月20日2023年2月27日

　千葉県の公立高校入試問題の傾向が、2022年から大きく変わりました。定番であった規則性の問題が無くなっていたりしますが、本稿で取り上げる第2問は2次関数に図形を絡ませた問題で、これは以前の第3問に対応します。

　基本的には、教科書レベルのさくっと解ける問題なのですが、小問3だけが別次元の難しさで、県立入試名物ポイズンピルです。

　過去のポイズンピル問題は第4問だったので、本問のような危険な問題がこんな前の方にあるというのも、意表をついています。うっかり拘泥してしまった人もいたかもしれません。

　いったいどんな問題なのか、早速見ていきましょう。

2022年千葉県 数学 第2問とは

　問題文は以下のリンク先をご覧ください。

産経ニュース　千葉県公立高校入試　問題と解答

　本問は2次関数の問題で、3つの小問から構成されています。

　図1のように、二次関数 $y = \frac{1}{5} x^2$ と $y = a x^2 (a <0)$ および長方形 ABCD があります。ここに Aの $x$ 座標は5、Bの $y$ 座標は-15です。

　小問1は係数 $a$ の値を求めよ、というものです。また、小問2は2点B、Cを通る直線の式を求めよ、というものです。これらは教科書レベルの、どうと言うことのない問題です。短い時間で正しい答えが出せるようにしましょう。

想定外の難易度の小問3

　小問3も同じノリでさくっと解けるだろうと舐めていると、えらい目に遭います。小問3は図2のように、長方形ABCDに合同な長方形DBEFを描いた時、2点E、Fを通る直線の式を求めよ、というものです。

　問題の主旨は、長方形ABCDを、その中心（対角線の交点）を軸として回転させてみろ、というものです。座標系の回転は普通、高校でベクトルや三角関数、余弦定理などを使って解くもので、それが高校入試に出てくるのは日常に潜む非日常、ていうか次元断層に足を踏み入れてしまったかのように、背筋に冷たいものが走ります。

　実際、解き方がすぐに思いつきません。2次関数の問題として出発したはずなのに、そんなものはどこかに消え失せてしまっています。「容疑者xの献身」に、「例えば、幾何の問題のように見えて、実は関数の問題だとか。少し見方を変えれば解けるはずなんです」なんてセリフが出てきますが、少しくらい見方を変えただけでは、如何ともしようがありません。

小問2の解法

論考の方針

　二次関数は不要なので、長方形と座標系にフィーチャーして、図を描きなおしてみます。長方形 ABCD の対角線の交点、すなわち回転の中心を P と置きます（図3）。

　P の座標はあっさり求めることが出来て、それは P(0,-5) です。対角線 EF も P を通るのですから、E または F の座標か、あるいはEF の傾きが分かれば、 EF の式を求めることが出来ます。

　いきなり傾きを求めるのは難しそうなので、まずは E または F の座標を求める方針で進めます。ずっと図をにらんでいるうちに、F は B の回転先だが、その回転角は ∠DPB と等しくね？と思いつければ、勝ちです。

　実際、△BPF は △DPB を回転させたものなので合同であり、したがって

∠DPB = ∠BPF
PD = PF

が成り立ちます。ゆえに、教科書にも載っていそうな、二等辺三角形の頂角の2等分線が底辺を垂直二等分するって言うのと同じ、基礎的な論考により、

DF ⊥ PB

が成り立つことがわかります（図4）。

　この大いなるグランドクロスの顕現により、点 F の座標を一気に求めることが出来ます。

点 F の座標を求める

　DF ⊥ PB であることと、PB の傾きが -2 であることから、DF の傾きは $\frac{1}{2}$ であることがわかります。

　このことと、D の座標が (-5,-15) であることから、 DF の式は直ちに求めることが出来て、それは

です。

　あとは地道に、計算するだけです。オーソドックスな進め方は、

1. DF と PB の交点 Q を求める
2. Q が DF の中点であることを利用して、 F の $x$ 座標を求める
3. F の $y$ 座標を求める

といった流れになりますが、点 Q の座標を計算するのが面倒くさいので、三角形の相似を利用してもう少し楽に済ませます。

　D を通って $x$ 軸に平行な直線と、 F を通って $y$ 軸に平行な直線の交点を R とします（図5）。

　△FDR と △BDQ はいずれも直角三角形で、かつ直角以外の1つの角が共通のため等しいので、2つの三角形は相似です。

　また、DF の傾きが $\frac{1}{2}$ であることから、それぞれの三角形の各辺の比はいずれも $2:1: \sqrt{5}$ です（図6）。

　DR の長さは F の $x$ 座標の値を使って

と表せます。したがって DF の長さは図6の辺の比からただちに

と表せます。

　点 Q は DF の中点なので、 DQ の長さは DF の半分です。したがって

が成り立ちます。

　ここで △BDQ に図6の辺の比を適用して

を得ますが、 BD = 10 であることから

が成り立ちます。ゆえに点 F の $x$ 座標は

です。これを DF の式に代入することにより、点 F の $y$ 座標を求めることが出来て、その値は

です。

EF の式を求める

　求める直線は P(0,-5) と F(11,-7) を通るので、$y$ 切片は -5 です。また、傾きは $-\frac{2}{11}$ です。ゆえに直線の式は

です。

解法のポイント

　直線の式を求めるには、点 E か点 F の座標を求める必要がありますが、本稿で示したように、 DF と PB が直交することに気が付けば、あとは容易に解くことが出来ます。

　これに気が付かなくても、三平方の定理の定理を駆使して解く方法が、ネット上を探せば見つかります。ただ、公立高の入試はとにかく時間との戦いなので、計算量はできるだけ少なくしたいところです。

　ある点の座標を求める問題の場合、その点を通る直線が既知の直線のどれかと平行になっていないか、あるいは本問のように直交していないか、注意するようにしましょう。うまくすると、回答時間を節約することが出来ます。