二項係数と剰余類の難問 – 2023年京大特色入試数学第4問

2023年5月16日2023年5月29日

m = p³ すなわち m=lp² で l=p のとき

　まず、 l = p のときを考えます。

\begin{aligned} {}_{p^2+p^3} \mathrm{C}_{p^2} & ={}_{p^2+p^3} \mathrm{C}_{p^3} \\ & =(\frac{p^3}{p^2} +1){}_{p^2+p^3-1} \mathrm{C}_{p^3} \\ &= (p+1) {}_{p^2+p^3-1} \mathrm{C}_{p^3} \\ \end{aligned}

ですが、

\begin{aligned} & {}_{p^2+p^3-1} \mathrm{C}_{p^3} \\ = & p^3\sum_{i=1}^{p-1} \frac{{}_{p^3+ p^2-p+i-1} \mathrm{C}_{p^3}}{p^2-p+i} +{}_{p^3+ p^2-p} \mathrm{C}_{p^3} \\ = & p^3\sum_{i=1}^{p-1} \frac{{}_{p^3+ p^2-p+i-1} \mathrm{C}_{p^3}}{p^2-p+i} \\ & + ( \frac{p^3}{p^2-p}+1){}_{p^3+ p^2-p-1} \mathrm{C}_{p^3} \\ = & p^3\sum_{i=1}^{p-1} \frac{{}_{p^3+ p^2-p+i-1} \mathrm{C}_{p^3}}{p^2-p+i} +p^2 \frac{{}_{p^3+ p^2-p-1} \mathrm{C}_{p^3} }{p-1}\\ & + {}_{p^3+ p^2-p-1} \mathrm{C}_{p^3} \\ = & p^3\sum_{i=1}^{p-1} \frac{{}_{p^3+ p^2-p+i-1} \mathrm{C}_{p^3}}{p^2-p+i} +p^2 \frac{{}_{p^3+ p^2-p-1} \mathrm{C}_{p^3} }{p-1}\\ & + p^3\sum_{i=1}^{p-1} \frac{{}_{p^3+ p^2-2p+i-1} \mathrm{C}_{p^3}}{p^2-2p+i} +p^2 \frac{{}_{p^3+ p^2-2p-1} \mathrm{C}_{p^3} }{p-2}\\ & + {}_{p^3+p^2-2p-1} \mathrm{C}_{p^3} \\ = & p^3 \sum_{j=1}^{p-1}\sum_{i=1}^{p-1} \frac{{}_{p^3+ p^2-jp+i-1} \mathrm{C}_{p^3}}{p^2-jp+i} \\ & +p^2 \sum_{j=1}^{p-1}\frac{{}_{p^3+ p^2-jp-1} \mathrm{C}_{p^3} }{p-j}\\ & + {}_{p^3+p-1} \mathrm{C}_{p^3} \\ = & p^3 \sum_{j=1}^{p-1}\sum_{i=1}^{p-1} \frac{{}_{p^3+ p^2-jp+i-1} \mathrm{C}_{p^3}}{p^2-jp+i} \\ & +p^2 \sum_{j=1}^{p-1}\frac{{}_{p^3+ p^2-jp-1} \mathrm{C}_{p^3} }{p-j}\\ & +p^3 \sum_{i=1}^{p-1} \frac{{}_{p^3+ i-1} \mathrm{C}_{p^3}}{i}+1\\ = & p^3 \sum_{j=1}^{p}\sum_{i=1}^{p-1} \frac{{}_{p^3+ p^2-jp+i-1} \mathrm{C}_{p^3}}{p^2-jp+i} \\ & +p^2 \sum_{j=1}^{p-1}\frac{{}_{p^3+ p^2-jp-1} \mathrm{C}_{p^3} }{p-j} +1\\ \end{aligned}

です。このとき、命題1と同様のロジックにより、 p³ の係数は全て自然数です。よって、

\begin{aligned} {}_{p^2+p^3-1} \mathrm{C}_{p^3} & \equiv p^2 \sum_{j=1}^{p-1}\frac{{}_{p^3+ p^2-jp-1} \mathrm{C}_{p^3} }{p-j} +1\\ & \equiv p^2 \sum_{k=1}^{p-1}\frac{{}_{p^3+kp-1} \mathrm{C}_{p^3} }{k} +1 ( \mod p^3)\\ \end{aligned}

が成り立ちます。

　p² の係数をなんとかしたいので、命題2に類似した以下の命題を用意します。

命題9
　 p を３以上の素数とする。自然数 b に対し、

　　 $\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1} \frac{ {}_{bp^3 +kp-1} \mathrm{C}_{bp^3}}{k} \equiv 0 (\mod p)$

が成り立つ。

証明

\begin{aligned} & {}_{bp^3+kp-1} \mathrm{C}_{bp^3} \\ = & bp^3\sum_{i=1}^{p-1} \frac{{}_{bp^3+ (k-1)p+i-1} \mathrm{C}_{bp^3}}{(k-1)p+i} +{}_{bp^3+ (k-1)p} \mathrm{C}_{bp^3} \\ = & bp^3\sum_{i=1}^{p-1} \frac{{}_{bp^3+(k-1)p+i-1} \mathrm{C}_{bp^3}}{(k-1)p+i} \\ & +bp^2 \frac{{}_{bp^3+(k-1)p-1} \mathrm{C}_{bp^3} }{k-1}\\ & + {}_{bp^3+(k-1)p-1} \mathrm{C}_{bp^3} \\ \end{aligned}

　ですが、命題1と同様のロジックによって、右辺のすべての分数は自然数です。よって、

\begin{aligned} & {}_{bp^3+kp-1} \mathrm{C}_{bp^3} \\ & \equiv {}_{bp^3+(k-1)p-1} \mathrm{C}_{bp^3} \\ & \equiv {}_{bp^3+(k-2)p-1} \mathrm{C}_{bp^3} \\ & \text{　　　　} \vdots \\ & \equiv {}_{bp^3+p-1} \mathrm{C}_{bp^3} ( \mod p ) \\ \end{aligned}

ですが、

\begin{aligned} & {}_{bp^3+p-1} \mathrm{C}_{bp^3} \\ = & bp^3\sum_{i=1}^{p-1} \frac{{}_{bp^3+i-1} \mathrm{C}_{bp^3}}{i} +{}_{bp^3} \mathrm{C}_{bp^3}\\ \equiv &{}_{bp^3} \mathrm{C}_{bp^3} \equiv 1 ( \mod p ) \end{aligned}

です。

　すべての $1 \leqq k \leqq p-1$ に対して

{}_{bp^3+kp -1} \mathrm{C}_{bp^3} \equiv 1 ( \mod p)

なので、

\frac{ {}_{bp^3+kp -1} \mathrm{C}_{bp^3}}{k} \equiv k^{-1} ( \mod p)

が成り立ちます。ここに $k^{-1}$ は $k$ の積に関する逆元で、命題3によりその存在と一意性が証明されています。

　よって、すべての　 $1 \leqq k \leqq p-1$ に対し、ある自然数 $1 \leqq i \leqq p -1$ が一意に存在して、

k^{-1} \equiv i ( \mod p)

が成り立ち、ある自然数 $\zeta$ が存在して、

\begin{aligned} \sum_{k=1}^{p-1} \frac{ {}_{bp^3+kp -1} \mathrm{C}_{bp^3}}{k} = & \sum_{i=1}^{p-1}i + \zeta p \\ = & \frac{p(p-1)}2 + \zeta p \end{aligned}

が成り立ちます。すなわち

\sum_{k=1}^{p-1} \frac{ {}_{bp^3+k p-1} \mathrm{C}_{bp^3}}{k} \equiv 0 (\mod p)

が証明できました。

　命題9により、ただちに以下の系を得ます。

系2
　 p を３以上の素数とする。自然数 b に対し、

　 $p^2\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1} \frac{ {}_{bp^3 +kp-1} \mathrm{C}_{bp^3}}{k} \equiv 0 (\mod p^3)$

が成り立つ。

次に、 l が p の倍数、すなわち l = bp (b は自然数）の場合を考えます。

\begin{aligned} {}_{p^2+bp^3} \mathrm{C}_{p^2} & ={}_{p^2+bp^3} \mathrm{C}_{bp^3} \\ & =(\frac{bp^3}{p^2} +1){}_{p^2+bp^3-1} \mathrm{C}_{bp^3} \\ &= (bp+1) {}_{p^2+bp^3-1} \mathrm{C}_{bp^3} \\ \end{aligned}

ですが、l=p の時と同じように、

\begin{aligned} & {}_{p^2+bp^3-1} \mathrm{C}_{bp^3} \\ = & bp^3 \sum_{j=1}^{p}\sum_{i=1}^{p-1} \frac{{}_{bp^3+ p^2-jp+i-1} \mathrm{C}_{bp^3}}{p^2-jp+i} \\ & +bp^2 \sum_{k=1}^{p-1}\frac{{}_{bp^3+ kp-1} \mathrm{C}_{bp^3} }{k} +1\\ \end{aligned}

です。このとき、p³ の係数が全て自然数なのと系2により、

\begin{aligned} {}_{p^2+bp^3-1} \mathrm{C}_{bp^3} & \equiv 1 ( \mod p^3)\\ \end{aligned}

が成り立ちます。

　ゆえに

\begin{aligned} {}_{p^2+bp^3} \mathrm{C}_{p^2} \equiv bp+1 ( \mod p^3) \\ \end{aligned}

です。

　ここまでの結果をまとめると、 $1 \leqq l \leqq p$ または $l =bp$ ( b は自然数）のとき、

\begin{aligned} {}_{p^2+lp^2} \mathrm{C}_{p^2} \equiv l+1 ( \mod p^3) \\ \end{aligned}

が成り立つことがわかりました。