二項係数と剰余類の難問 – 2023年京大特色入試数学第4問

2023年5月16日2023年5月29日

m = lp² ( p+1 ≦ l かつ lが p の倍数でない) のとき

　 b を自然数とします。 $bp \leqq l \leqq (b+1)p-1$ の範囲で、

\begin{aligned} & {}_{p^2+lp^2} \mathrm{C}_{p^2} \equiv l+1 ( \mod p^3) \cdots (4)\\ \end{aligned}

が成り立つことを、数学的帰納法によって証明します。

　 $l =bp$ の時は証明済みです。

　 $l \leqq (b+1)p-1$ のときに式(4)が成り立つと仮定するとき、

\begin{aligned} {}_{p^2+(l+1)p^2} \mathrm{C}_{p^2} & = {}_{(l+2)p^2} \mathrm{C}_{p^2}\\ & = \frac{l+2}{l+1} {}_{(l+2)p^2-1} \mathrm{C}_{p^2} \end{aligned}

なので、分母を払って、

\begin{aligned} & (l+1){}_{(l+2)p^2} \mathrm{C}_{p^2} = (l+2) {}_{(l+2)p^2-1} \mathrm{C}_{p^2} \end{aligned}

ですが、

\begin{aligned} & {}_{(l+2)p^2-1} \mathrm{C}_{p^2} \\ = &p^2 \sum_{i=1}^{p-1} \frac{{}_{(l+2)p^2-p +i-1} \mathrm{C}_{p^2} }{(l+1)p^2-p+i } + {}_{(l+2)p^2-p } \mathrm{C}_{p^2} \\ \end{aligned}

であり、かつ命題2により、

\sum_{i=1}^{p-1} \frac{{}_{(l+2)p^2-p +i-1} \mathrm{C}_{p^2} }{(l+1)p^2-p+i } \equiv 0 ( \mod p)

なので、

\begin{aligned} & {}_{(l+2)p^2-1} \mathrm{C}_{p^2} \equiv {}_{(l+2)p^2-p } \mathrm{C}_{p^2} ( \mod p^3)\\ \end{aligned}

です。したがって、

\begin{aligned} (l+1) {}_{(l+2)p^2} \mathrm{C}_{p^2} \equiv (l+2) {}_{(l+2)p^2-p } \mathrm{C}_{p^2} \\( \mod p^3) \cdots(5)\\ \end{aligned}

が成り立ちます。

　同様にして、自然数 $1 \leqq j \leqq p-1$ に対し、

\begin{aligned} {}_{(l+2)p^2-jp} \mathrm{C}_{p^2} = \frac{(l+2)p-j}{(l+1)p-j} {}_{(l+2)p^2-(j+1)p} \mathrm{C}_{p^2} \end{aligned}

なので、分母を払って、

\begin{aligned} & \{ (l+1)p-j \} {}_{(l+2)p^2-jp} \mathrm{C}_{p^2} \\ = & \{ (l+2)p -j \} {}_{(l+2)p^2 -jp-1} \mathrm{C}_{p^2} \end{aligned}

であり、命題2によって

\begin{aligned} & {}_{(l+2)p^2-jp-1} \mathrm{C}_{p^2} \\ = &p^2 \sum_{i=1}^{p-1} \frac{{}_{(l+2)p^2-(j+1)p +i-1} \mathrm{C}_{p^2} }{(l+1)p^2-(j+1)p+i } \\ & + {}_{(l+2)p^2-(j+1)p } \mathrm{C}_{p^2} \\ \equiv & {}_{(l+2)p^2-(j+1)p } \mathrm{C}_{p^2} ( \mod p^3 ) \end{aligned}

が成り立ちます。よって、

\begin{aligned} & \{ (l+1)p-j \} {}_{(l+2)p^2-jp} \mathrm{C}_{p^2} \\ \equiv & \{ (l+2)p -j \} {}_{(l+2)p^2 -(j+1)p} \mathrm{C}_{p^2} \\ & \text{　　　} ( \mod p^3) \cdots(6) \end{aligned}

です。

　式(6)において $j = p-1$ のとき、帰納法の仮定により

\begin{aligned} & (lp+1) {}_{(l+1)p^2+p} \mathrm{C}_{p^2} \\ \equiv & \{ (l+1)p +1 \} {}_{(l+1)p^2 } \mathrm{C}_{p^2} \\ \equiv & \{ (l+1)p +1 \} ( l+1 ) ( \mod p^3) \end{aligned}

が成り立ちます。

　 $j= p-2$ のとき、

\begin{aligned} & (lp+2) {}_{(l+1)p^2+2p} \mathrm{C}_{p^2} \\ \equiv & \{ (l+1)p +2 \} {}_{(l+1)p^2 +p} \mathrm{C}_{p^2} ( \mod p^3) \end{aligned}

であることから

\begin{aligned} & (lp+2) (lp+1){}_{(l+1)p^2+2p} \mathrm{C}_{p^2} \\ \equiv & \{ (l+1)p +2 \} (lp+1) {}_{(l+1)p^2 +p} \mathrm{C}_{p^2} \\ \equiv & \{ (l+1)p +2 \} \{ (l+1)p +1 \} (l+1) \\ & \text{　　　　　　　　} ( \mod p^3) \end{aligned}

が成り立ちます。

　以下、逐次的に

\begin{aligned} & {}_{(l+2)p^2-jp} \mathrm{C}_{p^2} \prod_{i=1}^{p-j} (lp+i) \\ \equiv & (l+1) \prod_{i=1}^{p-j} \{(l+1)p+i\} ( \mod p^3) \\ & \text{　　　　} (j=p-1,p-2,\cdots,1) \\ \end{aligned}

が成り立ちますが、特に j = 1 のとき、

\begin{aligned} & {}_{(l+2)p^2-p} \mathrm{C}_{p^2} \prod_{i=1}^{p-1} (lp+i) \\ \equiv & (l+1) \prod_{i=1}^{p-1} \{(l+1)p+i\} ( \mod p^3) \\ \end{aligned}

です。

　ところが、命題7により、

{}_{p+lp-1} \mathrm{C}_{lp} \equiv {}_{p+(l+1)p-1} \mathrm{C}_{(l+1)p} \equiv 1 ( \mod p^3)

なので、

\begin{aligned} \prod_{i=1}^{p-1} (lp+i) & \equiv(p-1)! {}_{p+lp-1} \mathrm{C}_{lp} \\ &\equiv(p-1)! ( \mod p^3) \\ \prod_{i=1}^{p-1} \{(l+1)p+i \} & \equiv(p-1)! {}_{p+(l+1)p-1} \mathrm{C}_{(l+1)p} \\ & \equiv (p-1)! ( \mod p^3) \\ \end{aligned}

が成り立ちます。これを代入して

\begin{aligned} & (p-1)! {}_{(l+2)p^2-p} \mathrm{C}_{p^2} \\ \equiv & (p-1)! (l+1) ( \mod p^3) \\ \end{aligned}

を得ますが、 (p-1)! は p と素なので、両辺をこれで割ることが出来て、

\begin{aligned} & {}_{(l+2)p^2-p} \mathrm{C}_{p^2} \equiv l+1 ( \mod p^3) \\ \end{aligned}

です。

　これを式(5)に代入して

\begin{aligned} (l+1) {}_{(l+2)p^2} \mathrm{C}_{p^2} & \equiv (l+2) {}_{(l+2)p^2-p } \mathrm{C}_{p^2} \\ & \equiv (l+1)(l+2) ( \mod p^3) \end{aligned}

ですが、 l+1 は p と素なので両辺をこれで割って、

\begin{aligned} {}_{(l+2)p^2} \mathrm{C}_{p^2} & \equiv l+2 ( \mod p^3) \end{aligned}

が成り立ちます。

　以上、数学的帰納法により、b が自然数のとき、 $bp \leqq l \leqq (b+1)p-1$ の範囲で、

\begin{aligned} & {}_{p^2+lp^2} \mathrm{C}_{p^2} \equiv l+1 ( \mod p^3) \cdots(4)\\ \end{aligned}

であることが証明できました。

　 $1 \leqq l \leqq p-1$ のとき、および $l= bp$ ( b は自然数）のときに式(4)が成り立つことは証明済みなので、結局、すべての自然数 l に対し式(4)が成り立ちます。

　ここまでの結果をまとめると、以下の命題が得られます。

命題10
　p を5以上の素数とする。このとき、自然数 $a$ に対し、

　　　　　 ${}_{ap^2} \mathrm{C}_{p^2} \equiv a ( \mod p^3)$

が成り立つ。

　長い道のりでしたが、ついにここまで来ました！あとは p=3 の場合のみです。