二項係数と剰余類の難問 – 2023年京大特色入試数学第4問

2023年5月16日2023年5月29日

p = 3 のとき

　l を自然数とします。

自然数 a が3で割って1余るとき

　 l = 3b （bは自然数）のとき、命題9及び系2は p = 3 の時も成り立つので、

{}_{9+9l} \mathrm{C}_9 \equiv l+1( \mod 27) \cdots (7)

が成り立ちます。よって $a =l+1=3b+1$ （bは自然数）に対し、

{}_{9a} \mathrm{C}_9 \equiv a( \mod 27)

が成り立ちます。 $1 \leqq b$ なので、上記の式は $4 \leqq a$ の時に成り立ちますが、明らかに $a = 1$ の時にも成り立ちます。

自然数 a が3で割って2余るとき

　上で示したとおり、 l =3b （bは非負整数）のとき

{}_{9+9l} \mathrm{C}_9 \equiv l+1( \mod 27)

です。一方、命題10の証明に出てくる式(5)は p = 3 のときも成り立つので、

\begin{aligned} (l+1) {}_{9(l+2)} \mathrm{C}_{9} \equiv (l+2) {}_{9(l+2)-3 } \mathrm{C}_{9} \\( \mod 27) \cdots(8)\\ \end{aligned}

です。また、命題10の証明に出てくる式(6)は p = 3 のときも成り立つので、

\begin{aligned} & \{ 3(l+1)-1 \} {}_{9(l+2)-3} \mathrm{C}_{9} \\ &\equiv \{ 3(l+2) -1\} {}_{9(l+2) -6} \mathrm{C}_{9} \\ & \text{　　　} ( \mod 27) \\ & \{ 3(l+1)-2 \} {}_{9(l+2)-6} \mathrm{C}_{9} \\ & \equiv \{ 3(l+2) -2 \} {}_{9(l+1) } \mathrm{C}_{9} \\ & \text{　　　} ( \mod 27) \\ \end{aligned}

ですが、これより

\begin{aligned} & (3l+1)(3l+2) {}_{9(l+2)-3} \mathrm{C}_{9} \\ \equiv & (3l+4)(3l+5) {}_{9(l+1)} \mathrm{C}_{9} ( \mod p^3) \\ & \text{　　　　　　　　　　　　} \cdots (9) \end{aligned}

を得ます。

　これに式(7)を代入して、

\begin{aligned} & (3l+1)(3l+2) {}_{9(l+2)-3} \mathrm{C}_{9} \\ \equiv & (3l+4)(3l+5) (l+1) ( \mod p^3) \\ & \text{　　　　　　　　　　　　} \cdots (10) \end{aligned}

が成り立ちますが、

\begin{aligned} (3l+1)(3l+2) & =9l^2+9l+2 \\ & =81b^2+27b+2\\ & \equiv 2 (\mod 27) \\ (3l+4)(3l+5) & =9l^2+27l+20 \\ & =81b^2+81b+20\\ & \equiv 20 (\mod 27) \end{aligned}

なので、これを式(10)に代入して、

\begin{aligned} & {}_{9(l+2)-3} \mathrm{C}_{9} \equiv 10 (l+1) ( \mod 27) \\ \end{aligned}

です。この結果と式(8)より、

\begin{aligned} {}_{9(l+2)} \mathrm{C}_{9} \equiv 10(l+2) ( \mod 27) \end{aligned}

よって $a =l+2= 3b+2$ （bは非負整数）に対し、

\begin{aligned} {}_{9a} \mathrm{C}_{9} \equiv 10a ( \mod 27) \end{aligned}

が成り立ちます。

自然数 a が3で割り切れるとき

　l = 3b + 1 （bは非負整数）のとき、上記の結果より

\begin{aligned} {}_{9(l+1)} \mathrm{C}_{9} \equiv 10(l+1) ( \mod 27) \end{aligned}

なので、これを式(9)に代入して

\begin{aligned} & (3l+1)(3l+2) {}_{9(l+2)-3} \mathrm{C}_{9} \\ \equiv & 10(3l+4)(3l+5) (l+1) ( \mod p^3) \\ & \text{　　　　　　　　　　　　} \cdots (11) \end{aligned}

を得ますが、

\begin{aligned} (3l+1)(3l+2) & =9l^2+9l+2 \\ & =9(3b+1)^2+9(3b+1)+2\\ & = 81b^2+81b + 20 \\ & \equiv 20 (\mod 27) \\ (3l+4)(3l+5) & =9l^2+27l+20 \\ & =9(3b+1)^2+27(3b+1)+20\\ & = 81b^2+135b+56 \\ & \equiv 2 (\mod 27) \end{aligned}

なので、これを式(11)に代入して、

\begin{aligned} & 10{}_{9(l+2)-3} \mathrm{C}_{9} \equiv l+1 ( \mod 27) \\ \end{aligned}

です。この結果と式(8)より、

\begin{aligned} {}_{9(l+2)} \mathrm{C}_{9} \equiv l+2 ( \mod 27) \end{aligned}

が成り立ちます。

　よって $a= l+2 =3b+3$ （bは非負整数）に対し、

\begin{aligned} {}_{9a} \mathrm{C}_{9} \equiv a ( \mod 27) \end{aligned}

が成り立ちます。

a が3で割って2余るとき、 _9(a+k)C₉ ≡ a ( mod 27) を満たす3の倍数 k を見つける

　 $a =3b+2$ （ b は非負整数）のとき、

\begin{aligned} {}_{9a} \mathrm{C}_{9} \not\equiv a ( \mod 27) \end{aligned}

ですが、題意が正しければ、適当な3の倍数 k が存在して、

\begin{aligned} {}_{9(a+k)} \mathrm{C}_{9} \equiv a ( \mod 27) \end{aligned}

　が成り立つことが期待できます。そこで、そのような k を探します。

　 $a +k$ は3で割って2余るので

\begin{aligned} {}_{9(a+k)} \mathrm{C}_9 & \equiv 10(a+k) \\ & \equiv a + 9(3b+2)+10k \\ & \equiv a+18+10k (\mod 27) \end{aligned}

ですが、ここで _9(a+k)C₉ ≡ a ( mod 27) が成り立つためには、

18+10k \equiv 0 ( \mod 27)

であることが必要です。このような k は 9 で割り切れなければならないので（もしそうでないなら 18+10k は 9 で割り切れないので当然27でも割り切れない）、 k= 9j (jは自然数）と置くとき、

2+ 10j \equiv 0 ( \mod 3)

が成り立つ必要が有りますが、これを満たす最小の自然数 j は j = 1 です。

　したがって k = 9 ですが、このとき確かに

\begin{aligned} {}_{9(a+9)} \mathrm{C}_{9} & \equiv 10(a +9) \\ & \equiv 10a +90 \\ & \equiv a +9a +90 \\ & \equiv a + 27b +108 \\\ & \equiv a ( \mod 27) \end{aligned}

が成り立ちます。

　以上をまとめると、以下の命題を得ます。

命題11
　自然数 $a$ が $a \equiv 2 ( \mod 3 )$ であるとき、

　　　　 ${}_{9(a+9)} \mathrm{C}_{9} \equiv a ( \mod 27)$

が成り立つ。また、 $a \not\equiv 2 ( \mod 3 )$ であるとき、

　　　　 ${}_{9a} \mathrm{C}_{9} \equiv a ( \mod 27)$

が成り立つ。

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