二項係数と剰余類の難問 – 2023年京大特色入試数学第4問

2023年5月16日2023年5月29日

m = lp² ( 1 ≦ l ≦ p-1 ) のとき

　ここで、 _p²+lp²C_p² に着目します。

　既に証明したとおり、

\begin{aligned} & {}_{p^2+lp^2} \mathrm{C}_{p^2} \equiv {}_{p+lp} \mathrm{C}_{p} ( \mod p^3) \\ \end{aligned}

ですが、

\begin{aligned} {}_{p+lp} \mathrm{C}_{p} = & {}_{p+lp} \mathrm{C}_{lp} \\ = & (l+1) {}_{p+lp-1} \mathrm{C}_{lp} \end{aligned}

であり、

\begin{aligned} & {}_{p+lp-1} \mathrm{C}_{lp} \\ = & \frac{lp {}_{lp+p-2} \mathrm{C}_{lp}}{p-1} + {}_{lp+p-2} \mathrm{C}_{lp} \\ = & lp \sum_{k=1}^{p-1} \frac{{}_{lp+k-1} \mathrm{C}_{lp}}{k} + {}_{lp} \mathrm{C}_{lp} \\ = & lp \sum_{k=1}^{p-1} \frac{{}_{lp+k-1} \mathrm{C}_{lp}}{k} + 1 \\ \end{aligned}

です。

　ここでおそらく、命題2と同じやり方で

\begin{aligned} \sum_{k=1}^{p-1} \frac{{}_{lp+k-1} \mathrm{C}_{lp}}{k} \equiv 0 ( \mod p) \\ \end{aligned}

が導出できるのではないかと予想できますが、もし更に

\begin{aligned} \sum_{k=1}^{p-1} \frac{{}_{lp+k-1} \mathrm{C}_{lp}}{k} \equiv 0 ( \mod p^2) \\ \end{aligned}

が成り立てば

\begin{aligned} {}_{p+lp} \mathrm{C}_{p} = & {}_{p+lp} \mathrm{C}_{lp} \\ = & (l+1) {}_{p+lp-1} \mathrm{C}_{lp} \end{aligned}

であったので、

\begin{aligned} {}_{p+lp} \mathrm{C}_{p} \equiv & l+1 ( \mod p^3) \end{aligned}

が成り立ち、

\begin{aligned} {}_{p^2+lp^2} \mathrm{C}_{p^2} \equiv & l+1 ( \mod p^3) \end{aligned}

が成り立ちます。

　実際どうなっているかですが、

\begin{aligned} {}_6 \mathrm{C}_3 & = 20 = 2 \cdot3^2+2 \\ {}_{10} \mathrm{C}_5 & = 252 \equiv 2 ( \mod 5^3) \\ {}_{14} \mathrm{C}_7 & = 3432 \equiv 2 ( \mod 7^3) \\ \end{aligned}

であり、 p = 3 のときはちょっと違っていますが、 p = 5 や p = 7 のときはたしかにそうなっています。

　そこで、_p+lpC_p ≡ l+1 (mod p³) の証明と、それが成り立つ条件を明確にしていきます。

{}_{p+lp} \mathrm{C}_p \equiv l+1 ( \mod p^3)