二項係数と剰余類の難問 – 2023年京大特色入試数学第4問

2023年5月16日2023年5月29日

　まず、 c₁ について考察します。

\begin{aligned} c_1 & = \sum_{k=1}^{p-1} \prod_{\substack{1 \leqq i\leqq p-1 \\ i \ne k} } i \\ & = \sum_{k=1}^{\frac{p-1}2} ( \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-1 \\ i \ne k} } i + \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-1 \\ i \ne p-k} } i ) \\ & = \sum_{k=1}^{\frac{p-1}2} \left \{(p-k) \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-1 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i + k \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-1 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i \right \} \\ & = p \sum_{k=1}^{\frac{p-1}2} \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-1 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i \\ & = p \left \{\prod_{\substack{i=2 } }^{p-2} i + (p-1) \sum_{k=2}^{\frac{p-1}2} \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i \right \} \end{aligned}

ですが、命題5により、

\prod_{\substack{i=2 } }^{p-2} i \equiv 1 ( \mod p)

です。また、同じく命題5により、

\begin{aligned} & \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i \\ \equiv & \prod_{j=2}^{p-2} j \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i \\ \equiv & \left \{ \left (\prod_{\substack{2 \leqq j \leqq p-2 \\ j \ne k}} j \right ) \cdot k \right \} \left (\prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i \right)\\ \equiv & \left (\prod_{\substack{2 \leqq j \leqq p-2 \\ j \ne k}} j \right ) \left \{k \left (\cdot \prod_{\substack{ 1 \leqq i \leqq p-2 \\ i\ne k \\i \ne p-k} } i \right )\right \} \\ \equiv & \prod_{\substack{2 \leqq j \leqq p-2 \\ j \ne k}} j \prod_{\substack{ 1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne p-k} } i \ \end{aligned}

ですが、命題5により、

\begin{aligned} k \cdot \prod_{\substack{2 \leqq j \leqq p-2 \\ j \ne k}} j & = \prod_{j=2}^{p-2} j \equiv 1( \mod p) \\ (p-k) \cdot\prod_{\substack{ 1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne p-k} } i & = \prod_{i=2}^{p-2} i \equiv 1( \mod p) \end{aligned}

が成り立つので、命題6により、

\begin{aligned} \prod_{\substack{2 \leqq j \leqq p-2 \\ j \ne k}} j & = k^{-1} \\ \prod_{\substack{ 1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne p-k} } i & = (p-k)^{-1} \equiv p-k^{-1} ( \mod p) \end{aligned}

であり、

\begin{aligned} & \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i \equiv k^{-1}(p-k^{-1} ) (\mod p ) \end{aligned}

となります。

　よって、

\begin{aligned} & \sum_{k=2}^{\frac{p-1}2}\prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i \equiv \sum_{k=2}^{\frac{p-1}2} k^{-1}(p-k^{-1} ) (\mod p ) \end{aligned}

ですが、 $l=p-k$ と変数変換すると、命題6により、

\begin{aligned} & \sum_{k=2}^{\frac{p-1}2} k^{-1}(p-k^{-1} ) \\ = & \sum_{l=\frac{p+1}2}^{p-2} (p-l)^{-1}(p-(p-l)^{-1} ) \\ = & \sum_{l=\frac{p+1}2}^{p-2} (p-l)^{-1}(p-(p-(l^{-1} ) ) \\ = & \sum_{l=\frac{p+1}2}^{p-2} (p-l)^{-1}l^{-1} \\ \end{aligned}

が成り立ちます。

　よって、

\begin{aligned} & \sum_{k=2}^{\frac{p-1}2} \prod_{\substack{1 \leqq i\leqq p-2 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i \\ \equiv &\frac{1}2 \sum_{k=2}^{\frac{p-1}2} k^{-1}(p-k^{-1}) + \frac{1}2 \sum_{k=2}^{\frac{p-1}2} k^{-1}(p-k^{-1}) \\ \equiv &\frac{1}2 \sum_{k=2}^{\frac{p-1}2} k^{-1}(p-k^{-1}) + \frac{1}2 \sum_{k=\frac{p+1}2}^{p-2} k^{-1}(p-k^{-1}) \\ \equiv & \frac{1}2 \sum_{k=2}^{p-2} k^{-1}(p - k^{-1}) ( \mod p ) \end{aligned}

です。

　 k が 2 ≦ k≦ p-2 の範囲を動くとき、命題4により、 j = k^-1 は 2 ≦ j ≦ p-2 の範囲を漏れ無く重複なく動きます。したがって

\begin{aligned} & \sum_{k=2}^{\frac{p-1}2} \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i \\ \equiv & \frac{1}2 \sum_{k=2}^{p-2} k^{-1}(p - k^{-1}) \\ \equiv & \frac{1}2 \sum_{j=2}^{p-2} j(p - j) ( \mod p ) \end{aligned}

です。

　一方、

\begin{aligned} & \frac{1}2 \sum_{j=2}^{p-2} j(p - j) \\ = & \frac{1}2 \left \{ \sum_{j=1}^{p-2} j(p - j) -(p-1) \right \} \\ = & \frac{1}2 \left \{ \frac{p(p-2)(p-1)}{2} \right. \\ & \text{　　} - \left. \frac{(p-2)(p-1)(2p-3)}6 -(p-1) \right \} \\ = & \frac{(p-1) \{ 3p(p-2) - (p-2)(2p-3) -6 \} }{12} \\ = & \frac{(p-1) ( p^2 + p -12 ) }{12} \\ = & \frac{p(p-1) (p+1)}{12} -p+1 \\ \end{aligned}

が成り立ちます。

　 p は奇数なので (p-1)(p+1) は４の倍数です。また、p は３の倍数でないので、 p-1 かp+1 のどちらか一方は３の倍数です。したがって、 $\displaystyle\frac{(p-1)(p+1)}{12}$ は自然数です。

　よって、

\frac{1}2 \sum_{j=2}^{p-2} j(p - j) \equiv 1 ( \mod p )

であり、

\begin{aligned} \sum_{k=2}^{\frac{p-1}2} \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i & \equiv \frac{1}2 \sum_{j=2}^{p-2} j(p - j) ( \mod p ) \\ & \equiv 1 (\mod p) \end{aligned}

が成り立ちます。したがって、ある自然数 $\eta$ が存在して、

\begin{aligned} & \sum_{k=2}^{\frac{p-1}2} \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne k \\i \ne p-k} }^{p-2} i = 1 + \eta p \\ \end{aligned}

です。また、命題5により、ある自然数 $\xi$ が存在して、

\prod_{\substack{i=2 } }^{p-2} i = 1 + \xi p

なので、

\begin{aligned} c_1 & = \sum_{k=1}^{p-1} \prod_{\substack{ 1 \leqq i \leqq p-1 \\ i \ne k} } i \\ & = p(\prod_{\substack{i=2 } }^{p-2} i + (p-1) \sum_{l=2}^{\frac{p-1}2} \prod_{\substack{1 \leqq i \leqq p-2 \\ i \ne k \\i \ne p-k} } i ) \\ &= p \left \{ \xi p +1 +(p-1) ( \eta p + 1) \right \} \\ & = p( \xi p + 1 + \eta p^2 +p - \eta p -1) \\ & = p^2(\xi + \eta p +1 - \eta)\\ \end{aligned}

となり、c₁ は p² 倍数であることがわかりました。