伝説のプール問題 – 2007年東工大 数学 第１類ＡＯ型 第2問
所要時間の最大値を求める
ここまでの考察により、直線 y = x と直線 y = \displaystyle\frac{(1 + \sqrt{3})^2}{2} (10-x) の交点
\left ( \frac{5(1+ \sqrt{3})}{\sqrt{3}}_,\frac{5(1+ \sqrt{3})}{\sqrt{3}} \right)が重要そうだ（もっと言うと、この点で原点 O からの所要時間が最大になりそうだ）という当たりが付けられます。
以下、それを証明します。
0 \leqq a \leqq \displaystyle\frac{5(1+ \sqrt{3})}{\sqrt{3}} の場合
まず、 0 \leqq a \leqq \displaystyle\frac{5(1+ \sqrt{3})}{\sqrt{3}} の場合です。
P がこの範囲のとき最短経路は南回りルートなので、所要時間は
\frac{a + \sqrt{3} b}2です。b ≦ a をであることから
\begin{aligned}
& \frac{a + \sqrt{3} b}2 \\
\leqq &\frac{1+ \sqrt{3} }2 a \leqq \frac{5(1+ \sqrt{3})^2 } {2 \sqrt{3}} = 5 + \frac{10 \sqrt{3}}{3}
\end{aligned}です。
\displaystyle\frac{5(1+ \sqrt{3})}{\sqrt{3}} < a \leqq 10 の場合
次に \displaystyle\frac{5(1+ \sqrt{3})}{\sqrt{3}} < a \leqq 10 の場合です。
a がこの範囲でかつ b の範囲が
\begin{aligned}
\frac{(1 + \sqrt{3})^2}{2} (10-a) < b \leqq a
\end{aligned}のとき、点 P へは東回りルートが最速なので、所要時間は
\frac{b - \sqrt{3} a}2 + 5 (1+ \sqrt{3}) です。よって a を固定するとき、所要時間の最大値は b = a のとき
\frac{1 - \sqrt{3} }2 a+ 5 (1+ \sqrt{3})です。
一方 b の範囲が
\begin{aligned}
0 \leqq b \leqq \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{2} (10-a)
\end{aligned}のとき、 点 P は南回りエリアにいるので、所要時間の最大値は
\frac{a + \sqrt{3} b}2です。
a を固定して b を大きくしていくと、境界線
\begin{aligned}
y = \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{2} (10-x)
\end{aligned}をまたいで東回りルートに突入します。したがって、
\begin{aligned}
& \frac{a + \sqrt{3} b}2 \\
\leqq & \frac{1}{2}a +\frac{\sqrt{3}(1 + \sqrt{3})^2}{2} (10-a) \\
= & -(1 + \sqrt{3} ) a + 5(2 \sqrt{3} +3) \\
= & \frac{1}{2} \cdot \frac{ (1 + \sqrt{3})^2}{2} (10-a) - \frac{\sqrt{3}}{2}a +5 (1+ \sqrt{3}) \\
\leqq & \frac{1 - \sqrt{3} }2 a+ 5 (1+ \sqrt{3}) \\
\end{aligned}が成り立ちます。
すなわち、 \displaystyle\frac{5(1+ \sqrt{3})}{\sqrt{3}} < a \leqq 10 の範囲で、 a を固定すると所要時間の最大値は
\frac{1 - \sqrt{3} }2 a+ 5 (1+ \sqrt{3})です。
この値は \displaystyle\frac{5(1+ \sqrt{3})}{\sqrt{3}} < a \leqq 10 の範囲で
\begin{aligned}
& \frac{1 - \sqrt{3} }2 a+ 5 (1+ \sqrt{3}) \\
< &\frac{1 - \sqrt{3} }2 \cdot \frac{5(1+ \sqrt{3})}{\sqrt{3}}+ 5 (1+ \sqrt{3}) \\
= & 5 + \frac{10 \sqrt{3}}{3}
\end{aligned}が成り立ちます。
ゆえに所要時間の最大値は
5 + \frac{10 \sqrt{3}}{3} ( \text{秒})です。単位を付け忘れないようにしましょう。
解法のポイント
本問のポイントは、まず問題の主旨がプール内の各点に到達するための所要時間の最大値を求めるものだ、と把握することが第一歩です。
次に、プール内の各点に到達するルートが3つあるので、各ルートの所要時間を具体的に求めて一番速いルートを選択します。
所要時間はプール内各点のx 座標、 y 座標の2変数関数になります。こういうときの最大値の求め方は一方の変数を固定して最大値を求め、次に固定した変数を動かして真の最大値を求める、というオーソドックスなやり方がありますが、本問もそれで答えが出ます。
何をやるべきかが最初に見えれば、計算もそれほど大変ではないので、無理なく答えにたどり着けることと思います。2変数関数の最大値問題はよくあるパターンなので、類似問題をたくさん解いて慣れておくようにしましょう。