非線形関数方程式と多項式の難問 – 2011年東工大 AO 数学 Ⅱ-1

2024年10月4日

2011年東工大 AO 数学 Ⅱ-1 は非線形関数方程式を満たす多項式の次数を求めるという、どうすりゃいいのか見当もつかない難問です。問題文は以下のとおりです。

f(x^2 + 1) = f(x)^2 + 1 をみたす n 次の多項式 f(x) が存在するような自然数 n をすべて求めよ．

　問題文がちょっとわかりにくいですが、本質は方程式の一般解を求めよという、証明問題としては一番面倒くさいタイプです。しかも独立変数にも関数値にも2次の項があって一筋縄では行きそうにありません。なかなかハードそうですが、とりあえず見ていきましょう。なお、本稿の内容は東工大が発表したものではありません。

問題文からすぐにわかることを洗い出す

　まず、与式に色々代入するなどして、すぐにわかりそうな内容を調べます。

　多項式の問題でよくやるのが、 x = 0 を代入して定数項を求める、というやり方です。実際にやってみると

f(1) = f(0)^2 +1

です。

　次に、式の左辺に注目します。左辺の関数の独立変数として x² が入っているので、これは –x を代入してみるしかありません。すると、

f((-x)^2+1)  = f(-x)^2 +1

なので

f(x)^2  = f(-x)^2

すなわち

   \{ f(x)  +f(-x) \} \{ f(x) -f(-x) \} = 0

です。

　f(x) は多項式なので

f(x) =  \sum_{k=0}^n a_kx^k

と置くとき（ a_0,a_1, \cdots , a_n は定数でかつ a_n \ne 0 ）、

\begin{aligned}

f(x) + f(-x) & = 2 \sum_{k \text{は偶数}} a_kx^k \\
f(x) - f(-x) & = -2 \sum_{k \text{は奇数}} a_kx^k


\end{aligned}

です。

a_n ≠ 0 なので n が偶数のとき、 |x| が十分大きいと f(x) + f(-x) ≠ 0 であり、したがって f(x) – f(-x) = 0 です。これはすなわち

a_1=a_3= \cdots = a_{n-1} =0

であることを意味するので

 \begin{aligned}
f(x)  &=   \sum_{k \text{は偶数}} a_kx^k \\
  &=\sum_{k=0}^{ \frac{n}2} a_{2k} x^{2k}
 
\end{aligned}

が成り立ちます。

　同様に n が奇数のとき、

 \begin{aligned}
f(x)  & =   \sum_{k \text{は奇数}} a_kx^k \\
  &= \sum_{k=0}^{ \frac{n-1}2} a_{2k+1} x^{2k+1}
 
\end{aligned}

が成り立ちます。

　もう1点、最高次係数 a_n についてもなにか言えそうです。

　実際、問題文与式の左辺の最高次は a_nx²ⁿ 、左辺の最高次係数は a_n²x²ⁿなので、

a_n = a_n^2

すなわち

a_n =1

です。

　以上をまとめると、問題文からすぐわかること（多項式 f(x) が満たすべきざっくりした必要条件）は以下のとおりです。

• f(1) = f(0)^2 +1
• n が偶数のとき f(x) =\displaystyle\sum_{k=0}^{ \frac{n}2} a_{2k} x^{2k} 、 n が奇数のとき f(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{ \frac{n-1}2} a_{2k+1} x^{2k+1}
• f(x) の最高次係数は１

　特に２番めの条件が使えそうです。３番めも有用な情報です。