非線形関数方程式と多項式の難問 – 2011年東工大 AO 数学 Ⅱ-1

n が偶数の時の十分条件を考える

　まず n が偶数の場合です。多項式 f(x) の係数をあれこれするのはむずかしそうなので、ある多項式が与式を満たすとき、そこからより次数が高くて与式を満たす多項式を帰納的に合成できないか、考えてみます。

　ここまでの考察で見つかった多項式は以下のとおりです。

これをにらんでいるうちに、 g(x) が与式を満たすなら、

f(x) = g(x)^2 + 1

も与式を満たすのではないかという気がしてきます。そこでこれを証明します。

g(x^2+1) =  g(x)^2 + 1

が成り立つとき、

\begin{aligned}

f(x^2+1)  &= g(x^2+1)^2 + 1 \\

  &= \{g(x)^2 +1 \}^2 +1 \\
 &= f(x)^2 +1

\end{aligned}

となり、 f(x) は確かに与式を満たします。

　 f(x) の次数は g(x) の次数の2倍なので、もし m が求める自然数なら 2m も求める自然数です。このことと 1,2,4 が求める自然数であることから、

n = 2^m \\
(m=0,1,2, \cdots)

のとき、 n は求める自然数であることがわかりました。