2011年東大 数学 第2問 は漸化式の問題ですが、数列が線形でないので定石が使えず、危険な香りがプンプンのヤバみMAX問題です。問題文は以下のとおりで、東大2次試験からの引用です。
実数 x の小数部分を，0 ≦ y < 1 かつ x − y が整数となる実数 y のこととし，これを記号 \langle x \rangle で表す．実数 a に対して，無限数列 {an} の各項 an (n = 1, 2, 3, · · ·) を次のように順次定める．
(i) a_1 = \langle a \rangle
(ii) \left \{ \begin{aligned} & a_n \ne 0 \text{のとき} , a_{n+1} = \left \langle \frac{1}{a_n} \right \rangle \\ & a_n = 0 \text{のとき} , a_{n+1} = 0 \end{aligned} \right .
(1) a = \sqrt{2} のとき，数列 {an} を求めよ．
(2) 任意の自然数 n に対して an = a となるような \displaystyle\frac{1}3 以上の実数 a をすべて求めよ．
(3) a が有理数であるとする．a を整数 p と自然数 q を用いて a = \displaystyle\frac{p}q と表すとき，q 以上のすべての自然数 n に対して，an = 0 であることを示せ．
この手の誰もが初見の問題の場合、小問1や小問2は問題文のシチュエーションに慣れさせるためサクッと解けることが多く、逆に狙いめです。取りこぼさないようにしましょう。
それではさっそく見ていきます。本稿の内容は東大が発表したものではありません。
2011年東大 数学 第2問 小問1の解法
まずは、定義に従って計算してみます。
1 < \sqrt{2} < 2 なので
a_1 = \langle \sqrt{2} \rangle = \sqrt{2} - 1です。
つぎに
\begin{aligned}
a_2 & = \left \langle \frac{1}{ a_1} \right \rangle \\
& = \left \langle \frac{1}{\sqrt{2} -1} \right \rangle \\
& = \langle \sqrt{2} +1 \rangle \\
& = \sqrt{2} -1
\end{aligned}おおっ！ソッコー答えがわかりました。すなわち
a_n = \sqrt{2} - 1
です。