非線形かつ特殊演算の漸化式問題 – 2011年東大 数学 第2問

2011年東大 数学 第2問 小問2の解法

a が満たすべき必要十分条件を求める

　任意の自然数 n に対して a_n = a となるということなので、

a_1 =  \langle a  \rangle =  a

であり、したがって

0 < a < 1

です。

　つぎに、

\begin{aligned}
a_{n+1}  &= \left  \langle  \frac{1}{a_{n}}  \right \rangle  \\
 & = \left  \langle  \frac{1}{a}  \right \rangle  \\
 & = a_n = a
\end{aligned}

すなわち

  \left  \langle  \frac{1}{a}  \right \rangle   =  a \dots (1)

が成り立ちます。

　逆に式(1) が成り立つならば 0 < a < 1 が成り立ち、したがって

a_1 = \langle a \rangle = a

が成り立ちます。また、 1 ≦ n である n に対して a_n = a が成り立つならば、

\begin{aligned}
a_{n+1}  &= \left  \langle  \frac{1}{a_{n}}  \right \rangle  \\
 & = \left  \langle  \frac{1}{a}  \right \rangle  \\
 &  = a
\end{aligned}

が成り立ちます。

　したがってすべての自然数 n に対して a_n = a が成り立つことが、帰納的に示せました。

　以上、任意の自然数 n に対して a_n = a となるための必要十分条件は式(1) が成り立つことであることがわかりました。

a の具体的な値を算出する

　式(1) が成り立つとき 0 < a < 1 なので、 \displaystyle\frac{1}3 \leqq a < 1 の範囲で式(1) を満たす a を探します。

　不等式の逆数を取ると

1 < \frac{1}{a} \leqq 3

が成り立ちますが、 \displaystyle\frac{1}a = 2 または \displaystyle\frac{1}a = 3 の場合は \left \langle \displaystyle\frac{1}{a} \right \rangle = 0 なので式(1) は成り立ちません。

　よって a のとり得る範囲は

 \frac{1}3 < a < \frac{1}2,\frac{1}2 < a < 1

です。

　以下、この範囲で式(1) を満たす a を探します。

　a の具体的な値を求めるので、式(1) の左辺を四則演算とか、実際に計算できる式に変換する必要があります。これをどうやって実現するかですが、定義に従えばある整数 m に対し

   m < \frac{1}a < m+1

が成り立つとき、

  \left  \langle  \frac{1}{a}  \right \rangle   =  \frac{1}a -m

と、計算できる形に変換できます。

　よって \displaystyle \frac{1}2 < a < 1 のとき、

   1 < \frac{1}a < 2

なので

  \left  \langle  \frac{1}{a}  \right \rangle   =  \frac{1}a -1

であり、

\frac{1}a - 1 = a

が成り立ちますが、この解のうち

a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}

は \displaystyle \frac{1}2 < a < 1 を満たします。

　次に \displaystyle \frac{1}3 < a < \frac{ 1}2 のとき、

   2 < \frac{1}a < 3

なので、

  \left  \langle  \frac{1}{a}  \right \rangle   =  \frac{1}a -2

であり、

\frac{1}a - 2 = a

が成り立ちますが、この解のうち

a =-1 + \sqrt{２}

は \displaystyle \frac{1}3 < a < \frac{ 1}2 を満たします。

　以上、求める a の値は

a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2},-1 + \sqrt{２}

です。