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京大– category –

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    ツートン数珠均等分割問題 – 2006年京大 文系 数学 第5問

     京大の文系数学はかの有名な自分で得点を指定できる問題のように、情け容赦なく攻めた問題が多く出題されていますが、本問も相当キています。問題文は以下のとおりです。  n,k は自然数で k ≦ n とする.穴のあいた 2k 個の白玉と 2n − 2k 個の黒玉に...
    2025年9月6日
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    三平方の定理を絡めた整数問題 – 2025年京大 数学 第2問

     2025年京大 数学 第2問 は三平方の定理が絡んだ整数問題です。問題文は以下のとおりです。 正の整数 x, y, z を用いて N = 9z^2 = x^6 + y^4 と表される正の整数 N の最小値を求めよ.  三平方の定理を満たす整数の組を求めよ、という問題のバリエーシ...
    2025年9月3日
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    謎演算の極限 – 2025年京大 特色入試 数学 第1問

     2025年京大 特色入試 数学 第1問は実数の小数部分の極限を求めるという、なかなかいやらしい問題です。問題文は以下のとおりです。  n を自然数とする. 実数 x に対し, x を超えない最大の整数を [x] とし, f(x) = x- [x] と定める.このとき, 1よりも大...
    2025年7月17日
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    三角関数の合成関数列とその収束 – 2025年京大 特色入試 数学 第4問

     2025年京大 特色入試 数学 第4問 は三角関数の合成関数列という、難易度を上げるためだけに作り出されたとしか思えない謎の関数列に関する問題です。問題文は以下のとおりです。  自然数nに対して, 関数 f(x) を次で帰納的に定める.  \begin{align...
    2025年7月4日
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    泥沼みの強いコイントス問題 – 2025年京大 数学 第6問

     2025年京大 数学 第6問はコイントス確率問題ですが、見た目よりずっと面倒くさい、クセ強問題です。問題文は以下のとおりです。  n は 2 以上の整数とする.1 枚の硬貨を続けて n 回投げる.このとき,k 回目(1 ≦ k ≦ n) に表が出たら Xk = 1,裏が出た...
    2025年6月24日
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    空間ベクトルと平面の問題 – 2025年京大 数学 第4問

     2025年京大 数学 第4問 は空間ベクトルの問題です。問題文は以下のとおりです。  座標空間の 4 点 O, A, B, C は同一平面上にないとする.s, t, u は 0 でない実数とする.直線 OA 上の点 L,直線 OB 上の点 M,直線 OC 上の点 N を \overrightarrow{OL...
    2025年6月19日
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    整数係数多項式の因数分解 – 1991年京大 数学 後期 理学部 第2問

     本問が出題された頃、京大後期の理科系問題は理学部用とそれ以外用に別れていました。本問は理学部用の第2問で、問題文は以下のとおりです。 整数を係数とする3次の多項式 f(x) が次の条件(*)を満たしている。(*)任意の自然数 n に対して f(n) は n(n+1)...
    2025年1月29日
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    三角方程式の解の極限 – 1998年京大 後期 数学 第4問

     1998年京大 後期 数学 第4問 は三角方程式の解で構成される数列の極限を求める問題です。問題文は以下のとおりです。  a は 0 < a < π を満たす定数とする.n = 0, 1, 2, · · · に対し,nπ < x < (n + 1)π の範囲に sin(x + a) = x sin x ...
    2025年1月16日
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    四面体正射影の激難問 – 2002年京大 後期 数学 第3問

     2002年京大 後期 数学 第3問 は四面体の正射影に関する難問です。問題文は以下のとおりです。  各面が鋭角三角形からなる四面体 ABCD において,辺 AB と辺 CD は垂直ではないとする.このとき辺 AB を含む平面 α に点 C,点 D から下ろした垂線の足を...
    2025年1月14日
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    コラッツ予想に挑戦!(嘘) – 2024年京大 数学 第4問

     2024年京大 数学 第4問 はコラッツ予想と呼ばれる未解決問題に出てくる、漸化式に関する問題です。問題文は以下のとおりです。  与えられた自然数 a0 に対して、自然数からなる数列 a0,a1,a2,… を次のように定める。 a_{n+1} = \left \{ \begin{aligned...
    2024年5月8日
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