「サーブ権」のあるコイントス確率問題 – 2013年東大 数学 第3問

2025年4月30日

　2013年東大 数学 第3問 はおなじみのコイントス確率問題です。問題文は以下のとおりで、東大2次試験からの引用です。

　本問の斬新なところは、複数プレーヤーコイントスにサーブ権の概念を持ち込んだことです。筆者が子供の頃に観たバレーボールのアニメ「アタックNo.1」では、サーブ権があるときにしか得点できませんでした。このためセットポイントやマッチポイントが延々続くことがあってハラハラさせられたものですが、これを確率の問題に持ち込まれると得点条件の計算が大変です。

　それではこの難題を少しずつ解きほぐしていきましょう。なお、本稿の内容は東大が発表したものではありません。

2013年東大 数学 第3問 小問1の解法

　n回コイントスした時点で A が勝つ表の出方は、表が2度出てそれが両方とも「Aのターン」すなわち A の対戦スコアが 2-0 の場合と、表が3回出てそのうち2回がAのターンで1回がB のターン、すなわち A の対戦スコアが 2-1 の場合の2パターンです。いずれの場合も最終回の n 回目が A のターンで、しかも表が出る必要があります。

　そこでまず、A が 2-0 で勝つケースを考察します。

A が 2-0 で勝つケース

　サーブ権を保持した状態から再びサーブ権を取得できるようになるのは、続けて表が出る場合と、裏が2以上の偶数回続いて出たときです。

　0も偶数なので、表が2回だけ出て A が勝つコインの出方は表を H 、裏を T と表記するとき

\overbrace{\mathrm{TT \cdots T } }^{\text{偶数}} \mathrm{H } \overbrace{ \mathrm{TT \cdots T} }^{\text{偶数}} \mathrm{H}

であり、かつこの場合に限ります。

　また明らかに、コイントスの回数 n は偶数です。

　 n = 2m ( 1 ≦ m ) とおき、最初の連続 T の個数を 2k ( 0 ≦ k ) 、2番めの連続 T の個数を 2l ( 0 ≦ l ) とおくとき、

2k + 2l +2 = 2m

なので

k + l  = m -1

です。これを満たす k,l のパターンは

の m 通りなので、n 回コイントスして A が 2-0 で勝つ場合、 n は偶数であり、その確率は n = 2m と置くとき

\frac{m}{2^n} = \frac{m}{4^m}

です。

A が 2-1 で勝つケース

　次にA が 2-1 で勝つケースを考察します。

　A の勝ち方は A→B→A または B→A→A のいずれかなので、サーブ権が移るのは連続T個数が奇数であることに注意すると、コインの出方は

\overbrace{\mathrm{TT \cdots T } }^{\text{偶数}} \mathrm{H } \overbrace{ \mathrm{TT \cdots T} }^{\text{奇数}} \mathrm{H}\overbrace{ \mathrm{TT \cdots T} }^{\text{奇数}} \mathrm{H}

または

\overbrace{\mathrm{TT \cdots T } }^{\text{奇数}} \mathrm{H } \overbrace{ \mathrm{TT \cdots T} }^{\text{奇数}} \mathrm{H}\overbrace{ \mathrm{TT \cdots T} }^{\text{偶数}} \mathrm{H}

のいずれかであり、かつこれらに限ります。

　また明らかに、コイントスの回数 n は奇数です。

　そこで n = 2m -1 (3 ≦ m) と置きます。 3 ≦ m なのは、 n = 3 や n = 1 のときには A が 2-1 で勝つという事象が起きないからです。

　以上の準備のもとに、まず、

\overbrace{\mathrm{TT \cdots T } }^{2k} \mathrm{H } \overbrace{ \mathrm{TT \cdots T} }^{2l+1} \mathrm{H}\overbrace{ \mathrm{TT \cdots T} }^{2j + 1} \mathrm{H}

の場合を考察します( 0 ≦ k,l,j)。

2k + 2l + 1 + 2j + 1 + 3 = 2m -1

なので、

k + l + j = m – 3

です。

　 j を固定したとき、

k + l = m – 3 – j

を満たす k,l の組み合わせ数は m -2 –j であり、 0 ≦ j ≦ m -3 なので求める組み合わせの数は

\sum_{j = 0}^{m-3}(m -2 -j) = \frac{1}2 (m-1)(m-2)

です。

　一方

\overbrace{\mathrm{TT \cdots T } }^{2k} \mathrm{H } \overbrace{ \mathrm{TT \cdots T} }^{2l+1} \mathrm{H}\overbrace{ \mathrm{TT \cdots T} }^{2j + 1} \mathrm{H}

の場合( 0 ≦ k,l,j)も同様に

2k + 2l + 1 + 2j + 1 + 3 = 2m -1

なので、求める組み合わせの数はやはり

\sum_{j = 0}^{m-3}(m -2 -j) = \frac{1}2 (m-1)(m-2)

です。

　したがってn 回コイントスして A が 2-1 で勝つ場合、 n は奇数であり、その確率は n = 2m -1 と置くとき

\frac{(m-1)(m-2)}{2^n} = \frac{2(m-1)(m-2)}{4^m}

です。

　この式は 3 ≦ m のとき成り立ちますが、 p(1) = p(3) = 0 であることから、実は m=1,2 のときも成り立ちます。

　以上をまとめると、A，B あわせてちょうど n 回コインを投げ終えたときに A の勝利となる確率 p(n)は

p(n) =  \left \{
\begin{aligned}
 & \frac{m}{4^m}   \text{ }(n =2m,m=1,2,\cdots)\\
 & \frac{2(m-1)(m-2)}{4^m} \\
  & \text{  　} (n =2m-1,m=1,2,\cdots)\\
\end{aligned}
 \right.

です。