今回取り上げる、 2006年東大 数学 第6問 は、逆関数の積分に関する問題です。逆関数の積分などと突然言われるとギョッとしますが、慌てなくて大丈夫です。
問題文は以下の通りです。
x > 0 を定義域とする関数 f(x) = \frac{12( e^{3x} -3e^x ) } { e^{2x} -1 } について、以下の問いに答えよ。
(1) 関数 y =f (x) ( x> 0) は、実数全体を定義域とする逆関数を持つことを示せ。すなわち、任意の実数 a に対して、 a = f(x) となる x > 0 がただ1つ存在することを示せ。
(2) 前問(1) で定められた逆関数を y = g(x) ( -\infty < x < \infty ) とする。このとき、定積分 \int_8^{27} g(x) dx を求めよ。
逆関数の定積分なんて考えたこともないので、ちょっとびっくりですが、落ち着いて考えると、逆関数それ自体を求めよと言われているわけではないので、まだ何とかなりそうです。
小問１の解法
これは以下の3点を示せれば、OKです。
\begin{aligned}
\text{壱 } & f'(x) > 0 \\
&(0 < x < \infty) \\
\text{弐 } & \lim_{x \to +0} f(x) = - \infty \\
\text{参 } & \lim_ {x \to \infty } f(x) = \infty \\
\end{aligned}壱の証明
普通に f(x) を微分します。
\begin{aligned}
& f'(x) = \frac{12( 3e^{3x} -3e^x ) } { e^{2x} -1 } \\
& +12( e^{3x} -3e^x ) \cdot \left \{ -\frac{2 e^{2x} } { (e^{2x} -1)^2 } \right \} \\
& = 36e^x - 24 \frac{e^{5x} - 3e^{3x} } { (e^{2x} -1)^2 } \\
& = 12 e^x \cdot \frac {3(e^{4x}- 2e^{2x} + 1 ) - 2(e^{4x} -3e^{2x}) } { (e^{2x} -1)^2 } \\
& = 12 e^x \cdot \frac {e^{4x} + 3 } { (e^{2x} -1)^2 } > 0
\end{aligned}以上、 f(x) > 0 であることが証明できました。
弐の証明
正の実数 \delta を、 e^{\delta} < 2 かつ \delta < \frac{1}{4} を満たすように、十分小さくとります。このとき、関数 e^x は閉区間 [0, \delta] で連続、かつ開区間 (0, \delta) で微分可能なので、平均値の定理により、すべての実数 x \in (0,\delta) に対し、ある実数 \alpha \in (0, x) が存在して、
\frac{e^x-1}{x} = e^\alphaが成り立ちます。よって、 すべての x \in (0, \delta) に対し、
\begin{aligned}
& e^x = 1+ xe^{\alpha} \\
& \text{ } < 1 + \delta e^{\delta} \\
& \text{ } < 1+\frac{1}{4} \cdot2 = \frac{3}{2}
\end{aligned}が成り立ちます。したがって、すべての x \in (0, \delta) に対し、
\begin{aligned}
& f(x) = 12e^x\frac{e^{2x} -3 } { e^{2x} -1 } \\
& \text{ } < 12 \cdot \frac{3}2 \cdot \frac{(\frac{3}{2})^2 -3 } { e^{2x} -1 } \\
& \text{ } =- \frac{27 } { 2(e^{2x} -1) }
\end{aligned}が成り立ちますが、右辺は x \to + 0 のとき、明らかに - \infty に発散するので、 f(x) も同様に、 - \infty に発散します。すなわち、②が証明できました。
参の証明
\begin{aligned}
& f(x) = 12e^x\frac{e^{2x} -3 } { e^{2x} -1 } \\
& \text{ } = 12e^x\frac{1 -3e^{-2x} } { 1- e^{-2x} }
\end{aligned}ですが、明らかに
\begin{aligned}
& \lim_{x \to +\infty } \frac{1 -3e^{-2x} } { 1- e^{-2x} } = 1
\end{aligned}なので、
\begin{aligned}
& \lim_{x \to +\infty } f(x) = + \infty
\end{aligned}が成り立ちます。
小問２の解法
関数 y = g(x) は y = f(x) の逆関数なので、 x = g(y) と表記します。 g(y) の具体的な表記がわからないまま、どうやって積分すればよいのか途方にくれますが、 x = g(y) なのだから、 y を x に変数変換してやれば、 g が積分からいなくまります。
x = g(y) であることと、 \frac{dy} {dx} = f'(x) であることに注意すると、
\begin{aligned}
& \int_8^{27} g(y) dy \\
& =\int_{g(8)}^{g(27)} x f'(x)dx \\
& =\left [ xf(x) \right ]_{g(8)}^{g(27)} - \int_{g(8)}^{g(27)} f(x)dx
\end{aligned}積分第１項の計算
g(y) の定義から、 f(g(8)) = 8, f(g(27)) = 27 です。したがって、
\begin{aligned}
& f(g(8)) = \frac{12( e^{3g(8)} -3e^{g(8)} ) } { e^{2g(8)} -1 } = 8
\end{aligned}分母を払って
\begin{aligned}
& 12( e^{3g(8)} -3e^{g(8)} ) =8( e^{2g(8)} -1 ) \\
& 3( e^{3g(8)} -3e^{g(8)} ) =2( e^{2g(8)} -1 ) \\
& 3 e^{3g(8)} -e^{2g(8)} -9e^{g(8)} +2 =0 \\
& (e^{g(8)} -2 )(3e^{2g(8)}+4e^{g(8)}-1) = 0
\end{aligned}e^{g(8)} > 1 なので、 e^{g(8)} = 2 すなわち g(8) = \log 2 です。
同様に、
\begin{aligned}
& f(g(27)) = \frac{12( e^{3g(27)} -3e^{g(27)} ) } { e^{2g(27)} -1 } = 27
\end{aligned}であることから、
\begin{aligned}
& (e^{g(27)} -3 )(4e^{2g(27)}+3e^{g(27)}-3) = 0
\end{aligned}が成り立ち、 e^{g(27)} > 1 なので、 e^{g(27)} = 3 すなわち g(27) = \log 3 です。
以上により、
\begin{aligned}
& \left [ xf(x) \right ]_{g(8)}^{g(27)} \\
& = \left [ xf(x) \right ]_{\log 2}^{\log 3} \\
& = \left [ x \frac{12( e^{3x} -3e^x ) } { e^{2x} -1 } \right ]_{\log 2}^{\log 3} \\
& = 12 \log 3 \cdot \left ( \frac{27-9}{8} \right ) \\
& - 12 \log 2 \cdot \left ( \frac{8-6}{3} \right ) \\
& = 27 \log 3 - 8 \log 2
\end{aligned}となります。
積分第２項の計算
また、
\begin{aligned}
& \int_{g(8)}^{g(27)} f(x)dx \\
& = \int_{\log 2}^{ \log 3} \frac{12( e^{3x} -3e^x ) } { e^{2x} -1 } dx
\end{aligned}となりますが、ここで t = e^x と変数変換すると、
\begin{aligned}
& \text{与式} \\
& = \int_{ 2}^{ 3} \frac{12( t^{2} -3 ) } { t^{2} -1 } dt \\
& = 12\int_{ 2}^{ 3} \left (1 - \frac{2 } { t^{2} -1 } \right ) dt \\
& = 12\int_{ 2}^{ 3} \left (1 - \frac{1 } { t -1 } + \frac{1 } { t +1 } \right ) dt \\
& = 12 \left [t + \log { \frac{t+1 } { t -1 } }\right ] _2^3 \\
& = 12 + 12 \log 2 -12 \log 3
\end{aligned}となります。
ゆえに、求める定積分は、
\begin{aligned}
& 27 \log 3 - 8 \log 2 \\
& - (12 + 12 \log 2 -12 \log 3) \\
& = 39 \log3 - 20 \log2 - 12
\end{aligned}となります。
まとめ
逆関数の積分を唐突に要求されると、ドキリとしますが、落ち着いて考えるとこれは、変数変換にすぎません。そこに気が付けば、あとは計算するだけです。
計算もそんなに複雑ではなく、 g(8) = \log 2 とかになるよう、 f(x) の係数が注意深く選ばれているところには、受験生を無下に計算地獄に落としたりしないという、出題者の親心が感じられます。
この手の問題で計算ミスはつまらないので、積分の計算問題をたくさんやって、力をつけておきましょう。