論理的思考力を磨こう – 2020年東大数学第１問

It's logical. (OpenClipart-VectorsによるPixabayからの画像)

2023年4月7日

　2020年東大数学第１問は二次不等式の問題です。問題文は以下のとおりです。

$a,b,c,p$ を実数とする。不等式

　　　 $\begin{aligned} ax^2+bx+c>0 \\ bx^2+cx+a>0 \\ cx^2+ax+b>0 \end{aligned}$

をすべて満たす実数 $x$ の集合と、 $x>p$ を満たす実数 $x$ の集合が一致しているとする。

(1) $a,b,c$ はすべて0以上であることを示せ。

(2) $a,b,c$ のうち少なくとも1個は0であることを示せ。

(3) $p=0$ であることを示せ。

　問題文の前半が妙にもってまわった言い回しになっているのに幻惑されますが、言い換えると

実数 $a,b,c$ を係数に持つ $x$ の3つの二次不等式

　　　 $\begin{aligned} ax^2+bx+c>0 \cdots (1) \\ bx^2+cx+a>0 \cdots (2) \\ cx^2+ax+b>0 \cdots (3) \end{aligned}$

のすべてを満たす $x$ の範囲が $x>p$ である。

ということです。これを命題Aと名付けることにします。

　命題Aは更に、以下のように言い換えられます。

$a,b,c ,p$ を実数とする。 $x$ に関する3つの二次不等式

　　　 $\begin{aligned} ax^2+bx+c>0 \cdots (1) \\ bx^2+cx+a>0 \cdots (2) \\ cx^2+ax+b>0 \cdots (3) \end{aligned}$

のすべてが成り立つための必要十分条件は、

　　　 $x>p$

である。

　このとき、各小問は命題Aが真であるための必要条件と見ることが出来ます。たとえば、

命題Aが真ならば、 $a,b,c$ はすべて0以上である

といった感じです。

　本問のような二次不等式の問題の場合、まずは判別式を利用するのがセオリーですが、本問の場合は命題Aよりも証明すべき必要条件（ $a,b,c$ はすべて0以上である、など）のほうが表現が単純なので、ここは論理学的なアプローチが有効です。

　ここでの論理学的アプローチとは、必要条件、十分条件、対偶、背理法といった、数学の証明でよく使う技法を駆使することを意味しています。

1. 小問1の解法
2. 小問2の解法
3. 小問3の解法
4. 解法のポイント

小問1の解法

　上にも述べたように、小問1は $a,b,c$ はすべて0以上であることが、命題Aの必要条件であることを証明せよ、というものです。ところが命題Aは複数の二次不等式の解の範囲に関するものなので、ここから $a,b,c$ が満たすべき条件を導き出すのは面倒くさそうです（ていうか、どうすればよいか思いつかない）。

　こういうときは、証明すべき命題の対偶を取ってみるのが、王道のアプローチです。すなわち、

$a,b,c$ のいずれかが負のとき、命題Aは偽である

を証明することを目指します。

　そんなわけで、 $a < 0$ であると仮定します。すると、不等式(1)の左辺の放物線は上に凸であり、 $x$ が十分に大きいと負になります。このとき、 $x$ はいくらでも大きく取れるので、 $x > p$ であるとして問題ありません。

　一方、命題Aの内容は、不等式（１）を含むすべての不等式が成り立つための必要十分条件は $x > p$ が成り立つことである、ということです。ところが、 $x > p$ なのに不等式(1)が成り立たないので、命題Aは正しくありません。

　よって、 $a,b,c$ のいずれかが負のとき、命題Aは偽であることが証明できました。ゆえに、命題Aが真のとき、 $a,b,c$ はすべて0以上です。

小問2の解法

　小問2は命題Aが真であるための必要条件を更に絞りこもう、というものです。小問1の結果を前提にして問題ありませんので、証明すべき命題は以下のように言い換えることが出来ます。

命題Aが真ならば、 $a,b,c$ のうち少なくとも1個は0であり、残りはすべて0以上である

　小問1と同様に、これの対偶を取ります。

$a,b,c$ のすべてが正ならば、命題Aは偽である

　以下、これを証明していきます。

　 $a,b,c$ のすべてが正のとき、命題Aの３つの二次不等式の左辺は、すべて下に凸な放物線です。よって、 $x$ が負の実数で、絶対値 $|x|$ が十分に大きいとき、3つの二次不等式は全て成り立ちます。

　 $x$ の絶対値はいくらでも大きくできるので、 $x \leqq p$ であるとして問題ありません。3つの二次不等式がすべて成り立っているのに $x \leqq p$ なのですから、命題Aは偽です。すなわち、対象の命題が証明できました。

　ゆえに、命題Aが真ならば、 $a,b,c$ のうち少なくとも1個は0です。

　これの意味するところは、命題Aが真ならば、3つの不等式のうち少なくとも１つは一次不等式でなければならない、ということです。よく考えてみるとこれは当然のことで、不等式のどれかが一次不等式でないと、共通解の範囲が数直線の右側のみにはならない、というのは明らかです。

小問3の解法

　命題Aが真ならば $p$ の値が具体的に一意に決まる、というのは難易度が高そうな感じがしますが、小問1及び小問2によって、 $a,b,c$ が満たすべき条件がかなりはっきりしてきているので、落ち着いて対処すれば「どうということはない」。

　 $a,b,c$ は位置が3つの不等式の中で循環していて対称性があるので、 $a = 0$ であるとして一般性を失いません。

　このとき命題Aは

実数 $b,c \geqq 0$ を係数に持つ $x$ の3つの二次不等式

　　　 $\begin{aligned} bx+c>0 \cdots (1) \\ bx^2+cx>0 \cdots (2) \\ cx^2+b>0 \cdots (3) \end{aligned}$

のすべてを満たす $x$ の範囲が $x>p$ である。

と表記できます。

　 $b= c= 0$ だと命題Aは明らかに成り立ちませんので、 $b,c$ の少なくとも一方は正であることがわかります。

　以下、 $b,c$ の取り得る値の範囲で場合分けして、 $p$ の値がどうなるのかを確認していきます。