1が連続して99個以上並ぶ数を探せ – 2013年東大 数学 第5問
小問２の解法
①題意を不等式で表現する
最初のほうで、求める自然数 A の条件を等式で表現しましたが、このままでは先に進めそうにありません。
小問1の不等式の真ん中の項が、１ずつ増える実数の積になっていることから、この不等式を使うことはもう確定的なので、題意を不等式で表すことを考えてみます。
ここで例えば、100の位が1である5桁の自然数 B を考えてみます。 B を等式で表すと、 B = c \times 10^3+ 100 + d 。ここに c は2桁の自然数、 d は100未満の非負整数です。
d の条件に着目すると、おおっ！ここに不等式っぽいものが！！早速不等式で表現してみると、
0 \leqq d < 100
となります。これを使って、 B が100の位が1である5桁の自然数である必要十分条件を不等式で表すと、ある2桁の自然数 c が存在して、
c \times 10^3 + 100 \leqq B < c \times 10^3 + 100 + 100
となります。これを A に適用すると、以下の命題を得ます。
命題1
自然数 a 、および n が与えられたとき、自然数 A が等式①のように表記されるための必要十分条件は、
\begin{aligned}
& a \times 10^{99+n} + \overbrace{111111 \cdots 1}^{99 \text{個}} \times 10^{n} \\
& \leqq A \\
& < a \times 10^{99+n} \\
& \text{ } + ( \overbrace{111111 \cdots 1}^{99 \text{個} } + 1)\times 10^{n}
\end{aligned}
・・・②
が成り立つことである。
不等式の右辺に、 ( 何とか + 1) \times 何とか の形が現れているのが、何か吉兆です。
②不等式を小問1の形に近づける
a 、および n を任意に与えても、不等式②を満たす自然数 A は等式①のように表記できるので、ここで小問1の不等式の適用を意識して、
\begin{aligned}
& n=99 \times 2 = 198 \\
& a = 10^{99}
\end{aligned}と置く時、命題1より、不等式
\begin{aligned}
& 10^{297} + \overbrace{111111 \cdots 1}^{99 \text{個}} \times 10^{198} \\
& \leqq A \\
& < 10^{297} + ( \overbrace{111111 \cdots 1}^{99 \text{個}} + 1)\times 10^{198}
\end{aligned}を満たす自然数 A は、ある自然数 b < 10^{198} が存在して、
A = 10^{297} + \overbrace{111111 \cdots 1}^{99 \text{個} } \times 10^{198} + b と表記できます。
ここでさらに、 x = 10^{99} と置くと、不等式は
\begin{aligned}
& \text{ } x^3 + \overbrace{111111 \cdots 1}^{99 \text{個} } \times x^2 \\
& \leqq A \\
& < x^3 +( \overbrace{111111 \cdots 1}^{99 \text{個} } + 1) \times x^2
\end{aligned}と変形できて、これを満たす自然数 A は、ある自然数 b < x^2 = 10^{198} が存在して、
A = x^3 + \overbrace{111111 \cdots 1}^{99 \text{個} } \times x^2 + bと表記できます。
ここで重要なのは、 x は10のべき乗でなければならない、ということです。そうでないと、 \overbrace{111111 \cdots 1}^{99 \text{個} } \times x^2 の10進表記で1が99個並ばなくなります。