1が連続して99個以上並ぶ数を探せ – 2013年東大 数学 第5問
③ \overbrace{111111 \cdots 1}^{99 \text{個}} を何とかする
だいぶ先が見えてきました。次に、 \overbrace{111111 \cdots 1}^{99 \text{個} } を何とかします。
小問1の不等式で、 3y という項に注目します。 y が自然数なので、こいつは3の倍数です。
ところが、 \overbrace{111111 \cdots 1}^{99 \text{個} } は、各桁の合計が99と3の倍数なので、それ自体3の倍数です。そこで、 \overbrace{111111 \cdots 1}^{99 \text{個} } を3で割った商を y と置きます。すなわち、
\overbrace{111111 \cdots 1}^{99 \text{個} } = 3yです。
ここまでの議論と命題1から、以下の命題2を得ます。
命題2
自然数 x= 10^{99} 、 y を、 \overbrace{111111 \cdots 1}^{99 \text{個} } を3で割った商とするとき、自然数 A が
A = x^3 + 3yx^2 + b
ここに b は b < x^2 を満たす自然数
と表記されるための必要十分条件は、
\begin{aligned}
& x^3 + 3yx^2 \leqq A < x^3 + (3y+1)x^2
\end{aligned}
が成り立つことである。
命題2は、 x が10のべき乗なら、 10^{99} より大きくても成り立ちます。そこで、以下の命題2' を得ます。
命題 2'
自然数 n \geqq 99 に対し、 x= 10^{n} 、 y を、 \overbrace{111111 \cdots 1}^{99 \text{個} } を3で割った商とするとき、自然数 A が
A = x^3 + 3yx^2 + b
ここに b は b < x^2 を満たす自然数
と表記されるための必要十分条件は、
\begin{aligned}
& x^3 + 3yx^2 \leqq A < x^3 + (3y+1)x^2
\end{aligned}
が成り立つことである。