1が連続して99個以上並ぶ数を探せ – 2013年東大数学第5問

1が連続して現れる自然数を探します(Gerd AltmannによるPixabayからの画像)

2021年5月22日2023年3月14日

④命題Ｐの証明　

　ここまでくれば、あと少しです。自然数 $y$ を、 $\overbrace{111111 \cdots 1}^{99 \text{個} }$ を3で割った商とし、自然数 $n \geqq 99$ を、

10^n > \frac{(3y^2 - 1) + \sqrt{ (3y^2-1)^2 + 4 (y^3-y) } } {2}

を満たすように、十分大きく取ります。自然数 $A$ を、

A = ( 10^n + y -1 )(10^n + y)( 10^n + y +1)

と定義するとき、小問1より、以下の不等式が成り立ちます。

10^{3n} + 10^{2n} \cdot 3y < A < 10^{3n} + 10^{2n} ( 3y +1)

したがって命題 $2'$ より、ある自然数 $b < 10^{2n}$ が存在して、

A = 10^{3n} + 10^{2n} \cdot 3y + b

が成り立ちます。右辺を10進表記すると、 $y$ の定義から直ちに、

A = 1 \overbrace{000 \cdot \cdot \cdot 0}^{(n-99) \text{個} } \overbrace{111 \cdot \cdot \cdot 1}^{99 \text{個} }b_1b_2 b_3 \cdot \cdot \cdot b_{2n}

を得ます。したがって、命題Ｐは証明されました。

解法のポイント

　この問題を解くには、以下の3点がポイントです。

十進表記の条件を、不等式で表現する
不等式の $x$ が、10のべき乗で有ることに気が付く
不等式の $3y$ が、 $\overbrace{ 111 \cdot \cdot \cdot 1}^{99 \text{個} }$ であることに気が付く

　項番1が、一番大変です。しかし、10進表記上の条件（本問では、1が99個以上連続して現れる）が動いてはいけないというところから、逆にその条件の最小桁より小さい値の幅は、動いてもよい、ということに、今回の解法のように気が付けば、何とかなります。

　ポイントは、10進表記に対して不等式の評価を求められたら、10進表記条件の最小桁より小さい値で振らしてみる、と言うことになります。

　次に項番2ですが、 $\overbrace{111 \cdot \cdot \cdot 1 }^{99 \text{個} }$ に10のべき乗がかかっているところから、比較的気が付きやすいと思います。気をつけなければならないのは、10進表記上の特徴部分（本問なら $\overbrace{111 \cdot \cdot \cdot 1 }^{99 \text{個} }$ ）には、10のべき乗以外のものは掛けてはならない、と言う点です。

　項番3も結構難易度高いですが、本稿のような段取りを踏めば、気が付けると思います。