ネイピア数の定義を再確認する – 2016年東大 数学 第1問

　2016年東大 数学 第1問 は、いわゆる「ネイピア数」に関する問題です。

　ネイピア数とは自然対数の底のことですが、学校ではこの名称で習わなかったため、今一つなじみがありません。ティッシュペーパー？、とか、西洋剣のレイピア？、とか、ボケをかましたくなります。

　そんなネイピア数に関する問題。以下の通りです。

e を自然対数の底、すなわち e = \lim_{t \to \infty} (1 + \frac{1}{t} )^t とする。すべての正の実数 x に対し、次の不等式が成り立つことを示せ。

(1+ \frac{1}{x} )^x < e < (1+ \frac{1}{x} )^{x + \frac{1}{2} }

　問題文に、ネイピア数の定義が現れました。これを使って証明しなければならないのか、とか、証明に e の基本的な性質、 \frac{d} {dx} e^x = e^x とか \frac{d} {dx} \log x = \frac{1} {x} を使っていいのか、トートロジーになってしまうのではないか、などと心配になります（実際は、そんなこと気にしなくてよいようです)。

　七面倒くさいことは考えずに、とりあえず淡々と進めます。

不等式左側の解法

　まずは、

\left ( 1+ \frac{1}{x}  \right )^x  < e

の証明です。問題文に、「 e を自然対数の底」とあるので、自然対数 \log およびその性質は、所与のものとします。

　であれば当然、両辺の対数を取って

x \log ( 1 + \frac{1}{x} ) < 1

が証明すべきターゲットとなります。

　　 t = \frac{1} {x} と変数変換します。

\frac{1}{t} \log ( 1 + t ) < 1

0 < x < \infty なので、 t も 0 < t < \infty です。

　ところが、 \log(1+t) は 0 \leqq t < \infty の範囲で連続なので、平均値の定理より、すべての t > 0 に対して、ある実数 c \in (0, t ) が存在して、

\begin{aligned}
& \text{不等式の左辺} \\
& = \frac{ \log( 1+ t) - \log1 } { t} \\
& = \frac{1}{1+ c} < 1
\end{aligned}

が成り立つので、不等式の左側は証明できました。