ネイピア数の定義を再確認する – 2016年東大数学第1問

2021年6月24日2023年3月14日

不等式右側の解法

　次に、

e < \left ( 1+ \frac{1}{x} \right )^{x + \frac{1}{2} }

の証明です。不等式左側の時のように、両辺の対数を取ると、

\begin{aligned} 1 < (x + \frac{1}{2}) \log ( 1+ \frac{1}{x} ) \\ \\ \cdots (1) \end{aligned}

を得ます。

　不等式(1)を、平均値の定理の適用をにらんで、以下のように変形します。

\frac{1} { 1+ \frac{1}{2x} } < x \log ( 1+ \frac{1}{x} )

　 $t = \frac{1} {x}$ と変数変換します。

\frac{1} { 1+ \frac{t}{2} } < \frac{1}{t} \log ( 1+ t )

　 $\log(1+t)$ は $0 \leqq t < \infty$ の範囲で連続なので、右辺に平均値の定理を適用すると、すべての $t > 0$ に対して、ある実数 $c \in (0,t)$ が存在して、

\frac{1} { 1+ \frac{t}{2} } < \frac{1}{1+ c }

となります。これをさらに変形して、

c < \frac{t}{2}

を得ます。すなわち、不等式(1)を平均値の定理を適用して証明しようとする場合、すべての $t > 0$ に対して、ある実数 $\bm{c \in (0, \frac{t}{2} ) }$ が存在して、

\frac{1}{t} \log ( 1+ t ) = \frac{1} {1+ c }

が成り立つことが必要です。これは一般的な平均値の定理の主張を超えるので、不等式(1)を証明するには、関数 $\log$ に固有の性質を利用する必要がありそうです。

　オーソドックスに導関数を求め、その増減から不等式の証明を試みます。

　不等式(1)を、以下のように変形します。

\begin{aligned} \frac{1 }{ x + \frac{1}{2} }< \log ( 1+ \frac{1}{x} ) \\ \end{aligned}

　 $t = \frac{1} {x}$ と変数変換します。

\begin{aligned} \frac{1 }{ \frac{1} {t} + \frac{1}{2} }< \log ( 1+t ) \\ \end{aligned}

　 $0 < x < \infty$ なので、 $t$ も $0 < t < \infty$ です。

　ここで $t$ の関数 $f(t)$ を、

\begin{aligned} & f(t) = \log ( 1+t ) - \frac{1 }{ \frac{1} {t} + \frac{1}{2} } \\ & \text{　　} = \log ( 1+t ) - \frac{2t }{ t+2 } \\ & \text{　　} = \log ( 1+t ) + \frac{4 }{ t+2 } -2 \end{aligned}

と定義します。 $f(t)$ は明らかに $0 \leqq t < \infty$ の範囲で連続であり、かつ $f(0) = 0$ です。

　このとき、

\begin{aligned} f(t) > 0 \text{　} (0 < t < \infty) \\ \\ \cdots (2) \end{aligned}

が成り立てば、不等式(1)も成り立つので、不等式(2)を証明します。

　 $f(t)$ を微分すると、

\begin{aligned} & f'(t) = \frac{1}{ 1+t } - \frac{4 }{ ( t+2 )^2} \\ & = \frac{ ( t+2 )^2 -4 (1+t ) }{ (1+t) ( t+2 )^2 } \\ & = \frac{ t^2 }{ (1+t) ( t+2 )^2 } \end{aligned}

です。

　 $t > 0$ のとき、 $f'(t) > 0$ なので、 $f(t)$ はこの区間で単調増加です。したがって $f(t) > f(0) = 0$ が成り立ちます。

　すなわち、不等式(1)が証明できました。