死角なき難問 – 1996年東大数学第3問

威力は小さいが射程は長い(Steve BidmeadによるPixabayからの画像)

2021年7月8日2023年3月5日

小問２の解法

基本的な考え方

　 $l \geqq 2r$ のときの、各頂点からの監視エリアの網羅度を図7に示します。要は、図3と図4を合わせた図です。

　全球面が漏れなく監視できていることがわかりますが、赤丸で囲まれた色の薄いところは、1つの頂点しか見えない場所です。全球面上に8か所あります。

　これらの場所は実は、各頂点の「真下」に位置しています。ヤマトを衛星の真下に移動させて、直上の衛星を破壊すれば、反射衛星砲からの攻撃は届かなくなります。

　これを防ぐための衛星の高度を求めるのが、小問2の主旨です。

　以下の図8において、 $\mathrm{DO} \geqq \mathrm{GO}$ ですが、 $\mathrm{DO} \leqq \mathrm{GO}$ になれば、1頂点からしか見えない球面上の領域は無くなります。

　 $\mathrm{DO} = 2r^2/l$ であったので、 $\mathrm{GO}$ の具体的な値を求めて、 $\mathrm{DO}$ の長さと比較します。

$\mathrm{GO}$ の具体的な値を求める

　 $\mathrm{A_5O} = \frac{ \sqrt{3}} {2} l$ 、 $\mathrm{IO} = r$ なので、 $\mathrm{A_5 I } = \sqrt{ \frac{3}{4} l^2 - r^2 }$ です。 $\triangle \mathrm{A_5 O} I \sim \triangle \mathrm{IOE}$ であることから、

\mathrm{IE} = \frac{r^2}{ \sqrt{3} l} \sqrt{ 3 \left ( \frac{l}{r} \right ) ^2- 4 }

が成り立ちます。

　ちなみに $\mathrm{IE}$ は、各頂点から球面を見下ろした時に見える円の半径です。

　次に、 $\triangle \mathrm{A_5 O A_6'} \sim \triangle \mathrm{JOE} \sim \triangle \mathrm{JIG}$ であることと、 $\mathrm{A_5O} : \mathrm{A_5 A_6'} : \mathrm{A_6' O } = \sqrt{3} : \sqrt{2} : 1$ であることから、

\begin{aligned} & \mathrm{GF} = \frac{\sqrt{2}} {\sqrt{3}}\mathrm{IE} \\ &= \frac{ \sqrt{2} r^2 }{ 3 l} \sqrt{ 3 \left ( \frac{l}{r} \right ) ^2- 4 } \end{aligned}

が成り立ちます。

　一方、 $\mathrm{EO}$ は図3の $\mathrm{CO}$ と等しく、 $\mathrm{ CO } = \frac{2 r^2}{\sqrt{3} l}$ であることと、 $\triangle \mathrm{A_5 O A_6'} \sim \triangle \mathrm{EOF}$ であることから、

\mathrm{FO} = \frac{1}{\sqrt{3}} \mathrm{EO} = \frac{2 r^2}{3 l}

が成り立ちます。

　したがって、

\begin{aligned} & \mathrm{GO} = \mathrm{GF} - \mathrm{FO} \\ & = \frac{ \sqrt{2} r^2 }{ 3 l} \sqrt{ 3 \left ( \frac{l}{r} \right ) ^2- 4 } - \frac{2 r^2}{3 l} \end{aligned}

　です。

$\mathrm{GO} \geqq \mathrm{DO}$ となる条件を求める

　いよいよ、 $\mathrm{DO}$ と $\mathrm{GO}$ の大小を比較します。

　 $\mathrm{GO} \geqq \mathrm{DO}$ のとき、

\frac{ \sqrt{2} r^2 }{ 3 l} \sqrt{ 3 \left ( \frac{l}{r} \right ) ^2- 4 } - \frac{2 r^2}{3 l} \geqq \frac{2r^2}{l}

左辺第2項を右辺に移項して

\frac{ \sqrt{2} r^2 }{ 3 l} \sqrt{ 3 \left ( \frac{l}{r} \right ) ^2- 4 } \geqq \frac{8r^2}{3l}

両辺を $\frac{ \sqrt{2} r^2 }{ 3 l}$ で割って、

\sqrt{ 3 \left ( \frac{l}{r} \right ) ^2- 4 } \geqq 4 \sqrt{2}

両辺を2乗して

3 \left ( \frac{l}{r} \right ) ^2- 4 \geqq 32

したがって

l \geqq 2 \sqrt{3} r

が成り立ちます。逆に $l \geqq 2 \sqrt{3} r$ のとき、上記のプロセスを逆にたどることによって、 $\mathrm{GO} \geqq \mathrm{DO}$ が成り立ちます。

　以上、なんか高校入試みたいな計算の結果、 $\mathrm{GO} \geqq \mathrm{DO}$ が成り立つ、すなわち $S$ 上のすべての点から $\mathrm A_1, \mathrm A_2, \cdots , \mathrm A_8$ のうち少なくとも2点が見えるための必要十分条件は、 $l \geqq 2 \sqrt{3} r$ であることが証明できました。