複素平面上の図形問題 – 2000年東大 数学 第2問

複素数を平面上で表現してみよう(Gerd AltmannによるPixabayからの画像)

2023年3月5日

　2000年東大 数学 第2問 は、ミレニアムの年に東大が贈る複素数の問題です。複素平面に図形を絡ませてきています。問題文は以下の通りです。

　複素数平面上の原点以外の相異なる2点 P(α),Q(β) \mathrm P(\alpha), \mathrm Q( \beta ) を考える。P(α),Q(β) \mathrm P(\alpha), \mathrm Q( \beta ) を通る直線を l l 、原点から l l に引いた垂線と　l l の交点を R(w) \mathrm R(w) とする。ただし、複素数 γ \gamma が表す点 C \mathrm C を C(γ) \mathrm C(\gamma ) とかく。このとき、「 w=αβ w = \alpha \beta であるための必要十分条件は、 P(α),Q(β) \mathrm P(\alpha), \mathrm Q( \beta ) が中心 A(12) \mathrm A (\frac{1}{2}) 、半径 12 \frac{1}{2} の円周上にあることである。」を示せ。

　問題文では、複素数の複素平面上の表記を、複素数それ自体とは別の実態として記述していますが、ちょっと煩雑なので、本稿では複素数それ自体の表記（ α,β \alpha, \beta ）に統一します。

複素数の幾何学的意味に関する準備

　複素数って数なのに、幾何学的な概念も持ち合わせているところがやっかいです。円だけならまだしも、直交しているとか、すぐにはイメージがわきません。ここで改めて、本問に登場する複素数の幾何学的性質「複素数 w=u+iv w = u +iv が直線 l l 上にある」と、「 w w が l l と直交する」の代数的意味合いを再確認します。

「複素数 w w が直線 l l 上にある」の意味

　考え方はベクトルと同じです。l l が α,β \alpha, \beta を通る直線なので、 w w が l l 上にあるということは、 w−α w- \alpha と β−α \beta -\alpha が平行であるということです。

　2つの複素数が平行であるとは、それらをベクトルとして見た時、傾きが同じと言うことですから、実部と虚部の比が同じであるということです。

　したがって、「複素数 w w が直線 l l 上にある」の代数的表記は

ℜ(w−α)ℑ(β−α)=ℑ(w−α)ℜ(β−α)\Re (w-\alpha )\Im( \beta - \alpha)= \Im (w-\alpha )\Re( \beta - \alpha)

です。ここに ℜ(w) \Re(w) は w w の実部を、 ℑ(w) \Im (w) は w w の虚部を、それぞれ表します。複素数の実部、虚部をドイツの飾り文字で表記するのは、大学に行くと出てきますが、なかなか厨二心をくすぐってくれます。

　上記の式は、以下のように変形できます。

ℑ((w−α)(β−α)‾)=0\Im((w- \alpha) \overline{( \beta - \alpha )} ) = 0

　すなわち、 w−α w-\alpha と β−α \beta -\alpha が平行であることと、 (w−α)(β−α)‾ (w - \alpha ) \overline{( \beta - \alpha)} が実数であることは、同値です。

「 w w が l l と直交する」の意味

w w が β−α \beta - \alpha と直交するので、それらの内積が0になりますが、これを代数的に表記すると

ℜ(w(β−α)‾)=0\Re (w \overline{ (\beta -\alpha) } ) = 0

です。すなわち、 w w が β−α \beta - \alpha と直交することと、 w(β−α)‾ w \overline{ (\beta -\alpha) } が純虚数であることは、同値です。

十分性の証明

　複素数 α,β \alpha, \beta が円周上にあるなら w=αβ w = \alpha \beta であることを証明するほうが簡単そうなので、まずこちら方向から取り掛かります。

　はじめに、記号を準備します。

α1=ℜ(α)α2=ℑ(α)β1=ℜ(β)β2=ℑ(β)\begin{aligned} & \alpha_1 = \Re( \alpha) \\ & \alpha_2 = \Im( \alpha) \\ & \beta_1 = \Re( \beta) \\ & \beta_2 = \Im( \beta) \\ \end{aligned}

と置きます。 α,β \alpha, \beta は中心 12 \frac{1}{2} 、半径 12 \frac{1}{2} の円周上にあるので、

∣α−12∣=12∣β−12∣=12\begin{aligned} & \left | \alpha - \frac{1}{2} \right | = \frac{1}{2} \\ & \left | \beta - \frac{1}{2} \right | = \frac{1}{2} \\ \end{aligned}

が成り立ちます。両辺を2乗して定数項を左辺に移行すると、

∣α∣2−α1=0∣β∣2−β1=0\begin{aligned} & | \alpha |^2 - \alpha_1 =0 \\ & | \beta |^2-\beta_1 =0 \\ \end{aligned}

となります。

　このとき、

ℑ((αβ−α)(β−α)‾)=ℑ(α∣β∣2−αβ‾−∣α∣2β+∣α∣2)=α2[β∣2+α1β2−α2β1−[α∣2β2=α2(∣β∣2−β1)+β2(α1−∣α∣2)=0\begin{aligned} & \Im((\alpha \beta- \alpha) \overline{( \beta - \alpha )} ) \\ & = \Im( \alpha |\beta|^2 -\alpha \overline{\beta} - |\alpha|^2 \beta + |\alpha|^2) \\ & = \alpha_2 [\beta|^2 +\alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1 - [\alpha|^2 \beta_2 \\ & = \alpha_2(|\beta|^2 - \beta_1) + \beta_2(\alpha_1 - | \alpha|^2) \\ & = 0 \end{aligned}

なので、 αβ−α \alpha\beta - \alpha と β−α \beta - \alpha は複素平面上で平行であり、 αβ \alpha \beta は直線 l l 上にあることが言えました。

　また、

ℜ((αβ)(β−α)‾)=ℜ(α∣β∣2−∣α∣2β)=α1[β∣2−[α∣2β1=α1([β∣2−β1)=0\begin{aligned} & \Re((\alpha \beta) \overline{( \beta - \alpha )} ) \\ & = \Re( \alpha |\beta|^2 - |\alpha|^2 \beta ) \\ & = \alpha_1 [\beta|^2 - [\alpha|^2 \beta_1 \\ & = \alpha_1( [\beta|^2 - \beta_1 ) \\ & = 0 \end{aligned}

となるので、αβ \alpha \beta は直線 l l と直交することが言えました。

　以上、 w=αβ w = \alpha \beta であることが証明できました。

必要性の証明

　 w=αβ w = \alpha \beta なら α,β \alpha, \beta が円周上にあることを証明します。

　 w=αβ w = \alpha \beta のとき

ℑ((αβ−α)(β−α)‾)=0ℜ((αβ)(β−α)‾)=0\begin{aligned} & \Im((\alpha \beta- \alpha) \overline{( \beta - \alpha )} ) = 0\\ & \Re((\alpha \beta) \overline{( \beta - \alpha )} ) = 0 \\ \end{aligned}

であるので、

α2(∣β∣2−β1)+β2(α1−∣α∣2)=0⋯(1)α1[β∣2−[α∣2β1=0⋯(2)\begin{aligned} & \alpha_2(|\beta|^2 - \beta_1) + \beta_2(\alpha_1 - | \alpha|^2) = 0 & \cdots(1)\\ & \alpha_1 [\beta|^2 - [\alpha|^2 \beta_1 = 0 & \cdots (2)\\ \end{aligned}

です。

　式(2)を式(1)に代入して

α2(∣β∣2−α1∣β∣2∣α∣2)+β2(α1−∣α∣2)=0\begin{aligned} & \alpha_2(|\beta|^2 - \alpha_1 \frac{|\beta|^2 }{ |\alpha| ^2}) + \beta_2(\alpha_1 - | \alpha|^2) = 0 \\ \end{aligned}

　分母を払って

α2(∣α∣2∣β∣2−α1∣β∣2)+β2∣α∣2(α1−∣α∣2)=0\begin{aligned} & \alpha_2( |\alpha|^2 |\beta|^2 - \alpha_1|\beta|^2 ) \\ &+ \beta_2 |\alpha|^2 (\alpha_1 - | \alpha|^2) = 0 \\ \end{aligned}

　共通項でくくって

(α2∣β∣2−β2∣α∣2)(∣α∣2−α1)=0\begin{aligned} & ( \alpha_2 |\beta|^2 -\beta_2 |\alpha|^2 ) ( |\alpha|^2 - \alpha_1 ) =0 \\ \end{aligned}

　ここでもし

α2∣β∣2−β2∣α∣2=0⋯(3)\begin{aligned} & \alpha_2 |\beta|^2 -\beta_2 |\alpha|^2 =0 & \cdots (3)\\ \end{aligned}

であるとすると、式(2)を代入して

α2β1−β2α1=0\begin{aligned} & \alpha_2 \beta_1 -\beta_2 \alpha_1 =0 \\ \end{aligned}

が成り立ちますが、これはすなわち

ℑ(αβ‾)=0\Im(\alpha \overline{\beta}) = 0

であり、 α \alpha と β \beta は、これらをベクトルとして見た時、平行になっています。

　言い換えると、0とα \alpha と β \beta が複素平面上で同一直線上にあるということなので、ある実数 C≠0 C \ne 0 が存在して、

β=Cα\beta = C \alpha

が成り立ちます。これを式(2)および式(3)に代入して

C2α1∣α∣2−Cα1∣α∣2=0C2α2∣α∣2−Cα2∣α∣2=0\begin {aligned} & C^2 \alpha_1 | \alpha|^2 - C \alpha_1 | \alpha|^2 = 0 \\ & C^2 \alpha_2 | \alpha|^2 - C \alpha_2 | \alpha|^2 = 0 \end{aligned}

C≠0 C \ne 0 、 α≠0 \alpha \ne 0 なので、 C∣α∣ C |\alpha | で割って、

α1(C−1)=0α2(C−1)=0\begin {aligned} & \alpha_1( C - 1) = 0 \\ & \alpha_2 (C-1) = 0 \end{aligned}

　α≠0 \alpha \ne 0 なので、 α1 \alpha_1 と α2 \alpha_2 の少なくとも一方は0ではありません。したがって、 C=1 C = 1 であり、 α=β \alpha = \beta となります。

　これは設問の前提条件 α≠β \alpha \ne \beta に反するので、式(3)は成り立ちません。したがって、

∣α∣2−α1=0|\alpha |^2 -\alpha_1 = 0

が成り立ちます。これを式(2)に代入して、

∣β∣2−β1=0|\beta |^2 -\beta_1 = 0

を得ます。すなわち、必要性が証明できました。

解法のポイント

ポイントを押さえれば、「解ける！解けるぞ！！」（klimkinによるPixabayからの画像）

　ポイントは、複素平面上での「直交」とか「直線上にある」といった条件を、どのようにして複素数の代数的表現に置き換えるか、です。本稿で示した内容は、時々出番がありますので、導出方法を覚えておきましょう。

　逆にこれを理解しておけば、複素平面物を恐れる必要はありません。あとは問題集をどんどん解いて、パターンに慣れておきましょう。

ブログトップページに戻る
東大受験は(有)峰企画の家庭教師

東大2000年

Posted by mine_kikaku