じゃんけんグリコの必勝戦略 – 1992年東大数学第6問

2021年11月16日2024年5月19日

1992年東大数学第6問は、いわゆる「じゃんけんグリコ」に関する問題です。問題文は以下の通りです。

A,B の2人がじゃんけんをして、グーで勝てば3歩、チョキで勝てば5歩、パーで勝てば6歩進む遊びをしている。1回のじゃんけんで A の進む歩数から B の進む歩数を引いた値の期待値を E とする。

(1) B がグー、チョキ、パーを出す確率がすべて等しいとする。 A がどのような確率で、グー、チョキ、パーを出すとき、 E の値は最大となるか。

(2) B がグー、チョキ、パーを出す確率の比が $a:b:c$ であるとする。 A がどのような確率でグー、チョキ、パーを出すならば、任意の $a,b,c$ に対し、 E ≧ 0 となるか。

　ぱっと見は、普通の期待値の問題のようです。早速取り組んでみます。

1. 小問1の解法
2. 小問2の解法
3. 小問2の別解
4. 解法のポイント

小問1の解法

　A の出す手の確率を、以下のように定義します。

\begin{aligned} g & = A \text{がグーを出す確率} \\ t & = A \text{がチョキを出す確率} \\ p & = A \text{がパーを出す確率} \\ \end {aligned}

　このとき、 $g + t + p = 1$ です。

　また、ある手を A が出す確率を　p_A(手) 、 B が出す確率を p_B(手) と表記することにします。すると、手ごとの確率は以下のとおりです。

\begin{aligned} & p_A( \text{グー}) = g,p_A( \text{チョキ}) = t,p_A( \text{パー}) = p \\ & p_B( \text{グー}) = p_B( \text{チョキ}) = p_B( \text{パー}) = \frac{1}3\\ \end{aligned}

　 A がどの手を出すのかと、 B がどの手を出すのかは独立事象です。よって、 A が手_A を出し、かつ B が手_B を出す確率は p_A(手_A)p_B(手_B) です。そこでそれぞれの場合の A の利得を整理すると、以下の表のようになります。

Aの手	Bの手	確率	Aの利得
チョキ	グー	$\displaystyle\frac{t}3$	-3
パー	グー	$\displaystyle\frac{p}3$	6
グー	チョキ	$\displaystyle\frac{g}3$	3
パー	チョキ	$\displaystyle\frac{p}3$	-5
グー	パー	$\displaystyle\frac{g}3$	-6
チョキ	パー	$\displaystyle\frac{t}3$	5

あいこのときは A,B 双方が動かないので、考慮する必要はありません。

　したがって、E は以下のように表すことが出来ます。

\begin{aligned} E = & (-3) \cdot \frac{t}3 + 6 \cdot \frac{p}3 \\ & +3 \cdot \frac{g}3 + (-5) \cdot \frac{p}3 \\ & +(-6) \cdot \frac{g}3 + 5 \cdot \frac{t}3 \\ = &\frac{1}{3}(-3g + 2t + p) \end{aligned}

　 $g + t + p = 1$ の関係式を使って $p$ を消去します。

\begin{aligned} E &= \frac{1}{3} \{-3g + 2t +(1- g- t) \} \\ & = \frac{1}{3} (-4g + t +1 ) \\ \end{aligned}

　 $g, t$ の取りえる値の範囲は

\begin{aligned} 0 & \leqq g \leqq 1 \\ 0 & \leqq t \leqq 1 \\ 0 &\leqq g+t \leqq 1 \\ \end{aligned}

なので、 $g$ を固定したとき、 E は $t = 1 -g$ のとき最大値

E_g = \frac{1}{3} (-5g + 2 )

を取ります。

　 $0 \leqq g \leqq 1$ なので、 $E_g$ の最大値、すなわち E の最大値は $g = 0$ のとき

\frac{2}{3}

です。

　 $g =0$ のとき、 $t = 1-0 = 1 ,p =0$ です。 A はチョキ一択で押し通すとき、期待値が最も大きくなります。

小問2の解法

B がグー、チョキ、パーを出す確率の比が $a:b:c$ なので、

\begin{aligned} p_A( \text{グー}) & = g,p_A( \text{チョキ}) = t,p_A( \text{パー}) = p \\ p_B( \text{グー}) &= \frac{a}{a+b+c}\\ p_B( \text{チョキ}) &= \frac{b}{a+b+c}\\ p_B( \text{パー})& = \frac{c}{a+b+c}\\ \end{aligned}

であり、 A の利得は

Aの手	Bの手	確率	Aの利得
チョキ	グー	$\displaystyle\frac{at}{a+b+c}$	-3
パー	グー	$\displaystyle\frac{ap} {a+b+c}$	6
グー	チョキ	$\displaystyle\frac{bg}{a+b+c}$	3
パー	チョキ	$\displaystyle\frac{bp}{a+b+c}$	-5
グー	パー	$\displaystyle\frac{cg}{a+b+c}$	-6
チョキ	パー	$\displaystyle\frac{ct}{a+b+c}$	5

なので、 E は

\begin{aligned} E = & \frac{-3at+6ap+3bg-5bp -6cg+5ct}{a+b+c} \\ = & \frac{1}{a+b+c} \\ & \times \left \{ \begin{aligned} & a(-3t+6p) \\ &+b(3g-5p) \\ &+c(-6g+5t)\end{aligned} \right \} \end{aligned}

です。 $a,b,c \geqq 0$ なので、 E ≧ 0 である十分条件は、連立不等式

\left \{ \begin{aligned} -3t + 6p & \geqq 0 \\ 3g-5p & \geqq 0 \\ -6g +5t & \geqq 0 \end{aligned} \right . \cdots (1)

を満たす　 $g,t,p$ が存在することです。

　もしかしたら条件が厳しすぎて、(1)の解はないかもしれませんが、その時はその時です。まずは思いつく条件であたりをつけてみましょう。

　ところが、(1) は解

\frac{g}{5} = \frac{t}{6} = \frac{p}{3}

を持ちます。 $g + t + p = 1$ であることから、 $g,t,p$ の値は一意に決まって、その値は

g = \frac{5}{14},t = \frac{3}{7},p=\frac{3}{14} \cdots (2)

で、このとき E = 0 です。

　問題文が求めているのは E ≧ 0 となる十分条件なので、これで終わりにしてよいはずですが、念のため、任意の $a,b,c$ に対し、 E > 0 となる $g,t,p$ は存在しないことを示します。

　すべての $g,t,p$ が連立不等式(1)を満たさない時、(1)の3つの不等式のうち、少なくとも1つは不等号の向きが逆になります。仮に

-3t + 6p < 0

であるとします。すると、 $(a,b,c) = (1,0,0)$ のとき、 E < 0 です。

　この対偶を取ると、任意の $a,b,c$ に対し、 E ≧ 0 である必要条件は、連立不等式(1)を満たす $g,t,p$ が存在することです。

　よって、任意の $a,b,c$ に対し E ≧ 0 である必要十分条件は、連立不等式(1)を満たす $g,t,p$ が存在することです。

　次に、(1)の唯一の解が(2)であることを示します。

(1) を変形すると

\left \{ \begin{aligned} \frac{p}3 & \geqq \frac{t }6\\ \frac{g} 5 & \geqq \frac{p}3 \\ \frac{t}6 & \geqq \frac{g}5 \end{aligned} \right .

です。すなわち、

\frac{t}{6} \geqq \frac{g}{5} \geqq \frac{p}{3} \geqq \frac{t}{6} \cdots(3)

ですが、これは(1)と

\frac{g}{5} = \frac{t}{6} = \frac{p}{3}

が同値であることを意味しています。したがって、(1)の唯一の解が(2)です。

　ゆえに任意の $a,b,c$ に対し E ≧ 0 となる必要十分条件は(2)が成り立つことであり、このとき E = 0 なので、E > 0 となる $g,t,p$ は存在しません。

　つまり、じゃんけんグリコの必勝戦略は存在せず、 A,B がそれぞれ(2)の戦略を取った時に、互いに中立的である E = 0 に均衡します。

小問2の別解

　よく考えてみると、ゲーム内容に関する A,B 間の対称性から、 E = 0 なのは明らかです。

　すなわち、もし A が適当な出し手確率を選んだときに B がどのような比率で手を出しても E > 0 が成り立つとすると、 B もその確率に従って手を出せばBの期待値はやはり正の値になるはずであり、本問のゲームがゼロサムゲームであることを考えるとこれは矛盾です。

　ということに気がつけば、もう少し楽に小問2を解くことができます。以下、この気付きを数学っぽく表現します。

　A の期待値を E_A 、 B の期待値を E_B と表記します。すると明らかに、 a,b,c,g,p,t がどんな値でも

E_A + E_B = 0

が成り立ちます。

　次に、B が出す手の比率 $a,b,c$ が何であっても E = 0 となるのは、 (2) が成り立つときだけであることを確認しておきます。

　連立方程式

\left \{ \begin{aligned} -3t + 6p & = 0 \\ 3g-5p & = 0 \\ -6g +5t & = 0 \end{aligned} \right . \cdots(3)

の唯一の解が (2) なので、もし (2) 以外に $a,b,c$ が何であっても E = 0 となる g,t,p があったとすると、 (3) の3つの式のうち、少なくとも1つは成り立ちません。

　仮に -3t+6p ≠ 0 であるとします。すると $(a,b,c) = (1,0,0)$ のとき E ≠ 0 であり、これは矛盾です。よって、 $a,b,c$ が何であっても E = 0 となるのは、 (2) が成り立つときだけであることが証明できました。

　したがって、 $a,b,c$ が何であっても E_A ≧ 0 となる g,p,t が (2) 以外に存在したとすると、 g,p,t がその値のとき E_A > 0 です。それらを g₀,t₀,p₀ と表記します。

　E_A + E_B = 0 であったので、 (g,t,p) = (g₀,t₀,p₀) ならばすべての $a,b,c$ に対し E_B < 0 です。ところが、 $(a,b,c) = (g_0,t_0,p_0)$ ならすべての (g,t,p) に対し E_B > 0 が成り立つはずですから (g,t,p) = (g₀,t₀,p₀) のときも E_B > 0 のはずで、これは矛盾です。