存在領域の難問 – 1988年東大 数学 第3問
目次
1988年東大 数学 第3問の解法 – Step2: 3つの図形が交わる点の存在範囲を求める
定式化
求める点 P は、平行移動した3つの図形が交わる点です。題意を満たす図形は
\begin{aligned}
& C(a,\frac{a^3}{4} -a) \\
&= \{(x,y) \in \mathbb{R^2} | &
y = f(x-a) +\frac{a^3}{4} -a, \\
& &-1 +a\leqq x \leqq 1+a\}
\end{aligned}なので、 P の座標を
P = (s,t)
と置き、この点を通る3つの図形をそれぞれ C(a_1, \frac{a_1^3}{4} -a_1),C(a_2, \frac{a_2^3}{4} -a_2),C(a_3, \frac{a_3^3}{4} -a_3)) としたとき、 a_1,a_2,a_3 は a の方程式
\begin{aligned}
t & = f(s -a) +\frac{a^3}{4} -a \\
& = s^3-3s^2a +3sa^2 -\frac{3}{4}a^3 -s
\end{aligned}の３つの異なる解です。
ここで s と a_1,a_2,a_3 の「距離感」について確認します。
-1+a_k \leqq s \leqq 1+a_k\\ (k=1,2,3)
なので、 s を固定すると
s-1 \leqq a_1,a_2,a_3 \leqq s+1
です。
すなわち、 P = (s,t) の存在領域は、 a の方程式
\frac{3}{4}a^3 -3sa^2+3s^2a +s-s^3 +t = 0が s-1 \leqq a \leqq s+1 の範囲に0以外の3つの異なる実数解を持つ領域です。