存在領域の難問 – 1988年東大 数学 第3問

2021年12月13日2023年2月28日

1988年東大 数学 第3問の解法 – Step2: 3つの図形が交わる点の存在範囲を求める

定式化

　求める点 P は、平行移動した3つの図形が交わる点です。題意を満たす図形は

\begin{aligned}
& C(a,\frac{a^3}{4} -a)  \\
&= \{(x,y) \in \mathbb{R^2}  |  &
 y = f(x-a) +\frac{a^3}{4} -a, \\
 & &-1 +a\leqq x \leqq 1+a\}
\end{aligned}

なので、 P の座標を

P = (s,t)

と置き、この点を通る3つの図形をそれぞれ C(a_1, \frac{a_1^3}{4} -a_1),C(a_2, \frac{a_2^3}{4} -a_2),C(a_3, \frac{a_3^3}{4} -a_3)) としたとき、 a_1,a_2,a_3 は a の方程式

\begin{aligned}
t & = f(s -a) +\frac{a^3}{4} -a \\
 & = s^3-3s^2a +3sa^2 -\frac{3}{4}a^3 -s
\end{aligned}

の３つの異なる解です。

　ここで s と a_1,a_2,a_3 の「距離感」について確認します。

-1+a_k \leqq s \leqq 1+a_k\\
(k=1,2,3)

なので、 s を固定すると

s-1 \leqq a_1,a_2,a_3 \leqq s+1

です。

　すなわち、 P = (s,t) の存在領域は、 a の方程式

  \frac{3}{4}a^3 -3sa^2+3s^2a +s-s^3 +t = 0

が s-1 \leqq a \leqq s+1 の範囲に0以外の3つの異なる実数解を持つ領域です。