存在領域の難問 – 1988年東大数学第3問

2021年12月13日2023年2月28日

　 $g_{s,t}(s-1),g_{s,t}(s+1)$ の式を具体的に求めると、以下の通りです。

\begin{aligned} g_{s,t}(s-1) = & \frac{3}{4}(s-1)^3-3s(s-1)^2 \\ &+3s^2(s-1)+s -s^3+t \\ =&-\frac{1}{4}(s-1)(s+1)(s-3) + t \\ g_{s,t}(s+1) = & \frac{3}{4}(s+1)^3-3s(s+1)^2 \\ &+3s^2(s+1)+s -s^3+t \\ =&-\frac{1}{4}(s-1)(s+1)(s+3) + t \\ \end{aligned}

　また、極値 $g_{s,t}(\frac{2}{3}s),g_{s,t}(2s)$ の式を具体的に求めると、以下の通りです。

\begin{aligned} g_{s,t}(\frac{2}{3}s) = &\frac{3}{4} \left (\frac{2}{3}s \right)^3 -3s\left (\frac{2}{3}s \right)^2 \\ &+3s^2\left (\frac{2}{3}s \right) +s-s^3 +t \\ = & -\frac{s^3}{9} +s +t \\ g_{s,t}(2s) = &\frac{3}{4} (2s )^3 -3s (2s )^2 \\ &+3s^2 (2s ) +s-s^3 +t \\ = & -s^3 +s +t \end{aligned}

　よって不等式(2) は不等式(6)に包含されることがわかります。

$0 < s < 1$ のとき、

\begin{aligned} & g_{s,t}(s-1) -g_{s,t}(2s) \\ &= -\frac{1}{4}(s+1)(s-1)(s-3) + t \\ & - (-s^3 +s +t ) \\ & = \frac{3}{4}(s-1)(s+1)^2 < 0 \end{aligned}

なので、不等式(3) は不等式(6) に包含されます。また、

\begin{aligned} & g_{s,t}(s+1) -g_{s,t}(\frac{2}{3}s) \\ &= -\frac{1}{4}(s+1)(s-1)(s+3) + t \\ & - (-\frac{s^3}{9} +s +t ) \\ & = -\frac{1}{36}(s+3)^2(5s-3) \end{aligned}

なので、 $0 < s \leqq \frac{3}{5}$ のとき、不等式(4)は不等式(5)に包含され、 $\frac{3}{5} < s < 1$ のとき、不等式(5)は不等式(4)に包含されます。

　以上を整理すると、 $(s,t)$ が満たすべき不等式は $0 < s \leqq \frac{3}{5}$ のとき、

\frac{s^3}{9} -s < t < s^3 -s

$\frac{3}{5} < s < 1$ のとき、

\frac{1}{4}(s-1)(s+1)(s+3) \leqq t < s^3 -s

となります。

　 $s < 0$ の場合も同様に計算、評価することで、 $-\frac{3}{5} \leqq s < 0$ のとき、

s^3 -s < t < \frac{s^3}{9} -s

$-1 < s < -\frac{3}{5}$ のとき

s^3 -s < t \leqq \frac{1}{4}(s-1)(s+1)(s-3)

となります。