別解その１ – 微分による最大値評価
本問は一種の最大値問題なので、微分を使って最大値を求めるやりかたもあります。
式(1)の両辺を \sqrt{2x +y } で割ると、
\frac{\sqrt{x} + \sqrt y}{\sqrt{2x+y}} \leqq kを得ますが、 x,y >0 のときの左辺の最大値が、求める k の値です。
ところが、
\frac{\sqrt{x} + \sqrt y}{\sqrt{2x+y}} = \frac{\sqrt{\frac{x}y} + 1}{\sqrt{2 \frac{x}y+1}} なので、
t = \frac{x}yと置き、
f(t) = \frac{\sqrt t + 1}{\sqrt{2t+1}}と定義するとき、 f(t) の t > 0 における最大値が存在すれば、それは
\frac{\sqrt{x} + \sqrt y}{\sqrt{2x+y}} の x,y > 0 における最大値に等しくなります。
実際、 f(t) が t = t_0 において最大値 k_0 を取ると仮定します。このとき、任意の x,y > 0 に対し、
\frac{\sqrt{x} + \sqrt y}{\sqrt{2x+y}} = f( \frac{x}y) \leqq k_0であり、かつ、 x_0 = t_0,y_0 =1 のとき、
\frac{\sqrt{x_0} + \sqrt y_0}{\sqrt{2x_0+y_0}} = \frac{\sqrt{t_0} + \sqrt 1}{\sqrt{2t_0+1}} = f( t_0 ) = k_0です。
あとは、 f(t) を微分して、最大値を求めます。
\begin{aligned}
f'(t) & = \frac{ \frac{1}{2\sqrt t } \cdot \sqrt{2t+1} - (\sqrt{t} +1) \cdot \frac{2}{2\sqrt{2t+1} }}{\sqrt{2t+1}^2} \\
& = \frac{ 1 - 2 \sqrt t }{2(2t+1) \sqrt{t(2t+1)}} \\
\end{aligned}であり、 0 < t < \frac{1}4 のとき f'(t) > 0 、 \frac{1}4 < t のとき f'(t) < 0 、 f'(\frac{1}4) =0 なので、 f(t) は t= \frac{1}4 のとき最大値
f(\frac{1}4) = \frac{ \frac{1}2 +1}{ \sqrt {\frac{1}2 + 1} }= \frac{ \sqrt 6 } 2をとります。ゆえに、 k の最小値は
\frac{ \sqrt 6 } 2です。