ヒントを見逃したら二項係数の力ずく計算 – 2009年東大 数学 第１問
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小問３の解法その３：よりスマートな解法
本問には実は、もっとスマートな解法があります。東京大学理系2009年前期数学入試問題 – (有)りるらるを参考にしました。
二項定理を適用するだけで、あっさり解けます。以下の通りです。
\begin{aligned}
&0 \\
= & (1-1) ^m \\
= & \sum_{i = 0}^m {_m \mathrm{C}_i}(-1)^{m-i} \\
= & 1 + \sum_{i = 1}^{m-1} {_m \mathrm{C}_i}(-1)^{m-i} + (-1)^m
\end{aligned}ですが、 m が偶数なので
\sum_{i = 1}^{m-1} {_m \mathrm{C}_i}(-1)^{m-i} = -2です。
dm は左辺の約数なので、右辺の -2 の約数でもあり、したがって、 1か２のいずれかです。