発展 ：フェルマーの小定理との関連
小問2でm が素数の時、小問2の主張はフェルマーの小定理と同じです。フェルマーの小定理と言うのは、
任意の整数 n および素数 p に対し、
n^p \equiv n \mod p
が成り立つ
というものです。まんま小問2ですね。
フェルマーの小定理は、各大学でよく入試問題に取り上げられていますが、とくに有名なのが、あの伝説の「自分で得点を指定できる問題」1995年京大 後期 文系 第4問 です。
解法のポイント
前段の小問が後段の小問のヒントであるという原則は、本問でも有効です。どのように適用すれば正解にたどり着けるか、いろいろと試行錯誤してみてください。
ただ、本問の場合はいささか敷居が高いと感じられます。本問のような二項係数の問題の場合、二項定理が適用できないか考えてみるというのも、突破口の一つです。
本問で適用した、
\sum_{i = 0}^m {_m \mathrm{C}_i}(-1)^{m-i} = 0\\
のほか、
\sum_{i = 0}^m {_m \mathrm{C}_i} = \sum_{i = 0}^m {_m \mathrm{C}_i} 1^i 1^{m-j} = 2^m\\
というのも、結構出番があります。
これらがどうしても思いつかない時には、本稿で示した二項係数の力づく計算に頼ることになりますが、泥臭いにもかかわらず、二項係数の問題ではそれなりに出番がある（2021年東大 数学 第4問など）ので、慣れておいても損はないでしょう。