ヒントを見逃したら二項係数の力ずく計算 – 2009年東大数学第１問

2022年9月4日2023年2月27日

発展：フェルマーの小定理との関連

　小問2でm が素数の時、小問2の主張はフェルマーの小定理と同じです。フェルマーの小定理と言うのは、

任意の整数 n および素数 p に対し、
$n^p \equiv n \mod p$
が成り立つ

というものです。まんま小問2ですね。

　フェルマーの小定理は、各大学でよく入試問題に取り上げられていますが、とくに有名なのが、あの伝説の「自分で得点を指定できる問題」1995年京大後期文系第4問です。

　前段の小問が後段の小問のヒントであるという原則は、本問でも有効です。どのように適用すれば正解にたどり着けるか、いろいろと試行錯誤してみてください。

　ただ、本問の場合はいささか敷居が高いと感じられます。本問のような二項係数の問題の場合、二項定理が適用できないか考えてみるというのも、突破口の一つです。

　本問で適用した、

\sum_{i = 0}^m {_m \mathrm{C}_i}(-1)^{m-i} = 0\\

のほか、

\sum_{i = 0}^m {_m \mathrm{C}_i} = \sum_{i = 0}^m {_m \mathrm{C}_i} 1^i 1^{m-j} = 2^m\\

というのも、結構出番があります。

　これらがどうしても思いつかない時には、本稿で示した二項係数の力づく計算に頼ることになりますが、泥臭いにもかかわらず、二項係数の問題ではそれなりに出番がある（2021年東大数学第4問など）ので、慣れておいても損はないでしょう。