二項係数と剰余類の難問 – 2023年京大 特色入試 数学 第4問

2023年5月16日2023年5月29日

ここまででわかったこと

　p は３以上の素数、m = lp² + jp + k ( l,j,k は整数。0 ≦ l ,j,k≦ p-1) であるとします。このとき、

• 1 ≦ k ≦ p-1 のとき、 \bm{ {}_{p^2+m } \mathrm{C}_{p^2} \equiv {}_{p+lp+j} \mathrm{C}_p ( \mod p^2) }
• k = p-1 のとき、 \bm { {}_{p^2+lp^2+jp+p-1 } \mathrm{C}_{p^2} \equiv {}_{p+lp+j} \mathrm{C}_p ( \mod p^3) }
• k= 0 のとき、 \bm{ {}_{p^2+lp^2+jp } \mathrm{C}_{p^2} \equiv {}_{p+lp+j} \mathrm{C}_p ( \mod p^3) }
• 5 ≦ p かつ j = 0 かつ k = p-1 のとき、 \bm { {}_{p^2+lp^2+p-1 } \mathrm{C}_{p^2} \equiv l+1 ( \mod p^3) }
• 5 ≦ p かつ j = 0 かつ k = 0 のとき、 \bm{ {}_{p^2+lp^2 } \mathrm{C}_{p^2} \equiv l+1 ( \mod p^3) }

ですが、

\begin{aligned}
 {}_{p+lp+j} \mathrm{C}_{p} =  & p\sum_{i=1}^{j} \frac{{}_{p+lp +i-1} \mathrm{C}_{p} }{i} +{}_{p+lp } \mathrm{C}_{p}\\
 
\end{aligned}

なので、 5 ≦ p のとき、

\begin{aligned}
 {}_{p+lp+j} \mathrm{C}_{p} \equiv  & {}_{p+lp } \mathrm{C}_{p}\\
  \equiv & l+1 ( \mod p)
 
\end{aligned}

です。したがって、

• 3 ≦ p のとき
  • 1 ≦ k ≦ p-1 のとき、 \bm{ {}_{p^2+m } \mathrm{C}_{p^2} \equiv {}_{p+lp+j} \mathrm{C}_p ( \mod p^2) }
  • k = p-1 のとき、 \bm { {}_{p^2+lp^2+jp+p-1 } \mathrm{C}_{p^2} \equiv {}_{p+lp+j} \mathrm{C}_p ( \mod p^3) }
  • k= 0 のとき、 \bm{ {}_{p^2+lp^2+jp } \mathrm{C}_{p^2} \equiv {}_{p+lp+j} \mathrm{C}_p ( \mod p^3) }
• 5 ≦ p のとき
  • \bm{ {}_{p^2+m } \mathrm{C}_{p^2} \equiv l+1 ( \mod p) }
  • j = 0 かつ k = p-1 のとき、 \bm { {}_{p^2+lp^2+p-1 } \mathrm{C}_{p^2} \equiv l+1 ( \mod p^3) }
  • j = 0 かつ k = 0 のとき、 \bm{ {}_{p^2+lp^2 } \mathrm{C}_{p^2} \equiv l+1 ( \mod p^3) }

　つまり、 p が5以上の素数のとき、自然数 1 \leqq a \leqq p に対し、

\begin{aligned}
{}_{ap^2} \mathrm{C}_{p^2}   \equiv a ( \mod p^3)\\
 
\end{aligned}

です。 a がある程度小さい場合は、題意が成り立つことが証明できました。

　では、 p <a の場合はどうでしょうか。 a を p で割った余りを \gamma （ a が p で割り切れるときは \gamma = p ）とし、 m= (\gamma -1)p^2 + jp +k(1 \leqq l,k,j \leqq p-1) とおくとき、

\begin{aligned}
{}_{ p^2 + m} \mathrm{C}_{p^2}  & \equiv \gamma \\
  & \equiv a ( \mod p)

\end{aligned}

であり、 j,k の値を適切に選べば、 p < a のときにも {}_{p^2+m}\mathrm{C}_{p^2} \equiv a ( \mod p^3) が成り立つようにできるのかも知れません。

　しかし、具体的な導出方法がわからない上に、本稿の最初のほうで見たように、 j,k の値を動かした時に _p²+mC_p² の mod p³ での値が重複し、p で割った余りが a と等しい p³ 以下のすべての自然数を網羅することはできません。

　実際、p で割った余りが a と等しい p³ 以下の自然数は p² 個ありますが、 {}_{ p^2 + m} \mathrm{C}_{p^2} \equiv a ( \mod p ) となる m のバリエーションも p² 個あります。

　しかし、

\begin{aligned}
{}_{ \gamma p^2 } \mathrm{C}_{p^2} \equiv {}_{ \gamma p^2 +p-1} \mathrm{C}_{p^2}\equiv \gamma ( \mod p^3)

\end{aligned}

などのように値が重複するものがあるので、取り得る値のバリエーションは p² より小さくなり、 m を動かしても p で割った余りが a と等しい p³ 以下のすべての自然数を網羅することは出来ません。

　すなわち、ある 1 \leqq a \leqq p^3 が存在して、 0 \leqq m \leqq p^3 -1 をどのように選んでも、

{}_{ p^2 + m} \mathrm{C}_{p^2}   \not\equiv a ( \mod p^3) \\

となります。

　したがって、 m =lp² で l が p 以上の場合、すなわち、 p³ ≦ m の場合を考察する必要が有ります。まずは l が p の倍数、すなわち m = lp² が p³ の倍数の場合を考えます。