整式が素数になる条件 – 2024年東大 数学 第6問
2024年東大 数学 第6問 は整数係数の3次式に整数を代入したときに、それが素数になる条件を求めるものです。問題文は以下のとおりです。
2以上の整数で，1とそれ自身以外に正の約数を持たない数を素数という．以下の問いに答えよ．
(1) f(x)=x^3+10x^2+20x とする． f(n) が素数となるような整数 n をすべて求めよ．
(2) a , b を整数の定数とし， g(x)=x^3+ax^2+bx とする． g(n) が素数となるような整数 n の個数は3個以下であることを示せ．
わざわざ素数の定義を示しているのは、ときどき１が素数かどうかで議論になるからでしょうか。
素数が無限にある以上、題意を満たす整数 n は無限にありそうな気がしますが、きっとそんなことはないはずです。何となくヤバげな雰囲気もありますが、(1) くらいは何とかなるかもしれません。とりあえず見ていきましょう。
2024年東大 数学 第6問 小問1の解法
まず、 f(x) = x(x^2+10x+20) と因数分解できることに着目します。これはすなわち、 f(n) は複数の整数の積で表されるということですから、 f(n) が素数になる条件はぐっと絞り込まれます。これはなんか行けそうな気がしてきました。
h(x) = x^2+10x +20 と置きます。すると、 f(n) = nh(n) が素数になる必要十分条件は、 以下の4条件のいずれか（複数可）が成り立つことです。
| 項番 | n | h(n) |
|---|---|---|
| 条件1 | 1 | 素数 |
| 条件2 | -1 | -素数 |
| 条件3 | 素数 | 1 |
| 条件4 | -素数 | -1 |
負の場合があり得ることに注意しましょう。
以下、各条件が成り立つかどうかを確認していきます。
条件1
h(1) = 31 は素数なので、条件1は成り立ちます。
条件2
h(-1) = 9 ですが、9 は-素数ではないので条件2は成り立ちません。
条件3
二次方程式 h(x) = 1 の解は整数にならないので、条件3は成り立ちません。
条件4
二次方程式 h(x) = -1 の解は x = -3,-7 であり、 3 も 7 も素数なので、条件4は成り立ちます。
以上、条件1と条件4が成り立つので、 f(n) が素数になる n は存在して、それらは 1,-3,-7 であることがわかりました。