整式が素数になる条件 – 2024年東大数学第6問

2024年6月1日2025年3月11日

2024年東大数学第6問小問2の解法

証明方針

　小問1により、n の個数が3個の場合はあり得ることがわかったので、整数 a,b をどのように選んでも g(n) が素数になる n は4個以上存在しないことが証明できれば十分です。

　 $e(x) = x^2+ax +b$ と置きます。すると、 $g(n) = ne(n)$ が素数になる必要十分条件は小問1の場合と同様、以下の4条件のいずれか（複数可）が成り立つことです。

項番	$n$	$e(n)$
条件1	1	素数
条件2	-1	-素数
条件3	素数	1
条件4	-素数	-1

　これらの条件をどのように組み合わせても n の個数が4個以上にならないことを証明できれば良いので、 n の個数が4個以上であるための必要条件をこれら4条件の組み合わせで表現し、それが成り立たないことを証明することにします。

　まず、各条件が単独で成り立つときの n の個数を明らかにしておきます。

　大前提として、「 n ≠ ±1 かつ n ≠ ±素数ならば g(n) は素数でない」ことを押さえておきましょう。これは g(n) が素数になるための必要十分条件が上記の4条件であることから明らかです。

　条件1しか成り立たないとき、 g(1) は素数になりますが条件2,3,4が成り立たないので g(-1) も g(±p) (p は任意の素数)も素数になりません。さらにn ≠ ±1 かつ n ≠ ±素数ならば g(n) は素数でないので、 g(n) が素数になる n は n = 1 の1個です。

　同様に条件2しか成り立たないとき、g(n) が素数になる n は n = -1 の1個です。

　条件3しか成り立たないとき、二次方程式 $e(x) = 1$ の解がたかだか2個であることから、そのうち素数である物の数もたかだか2個です。それ以外の素数 p に対し e(p) ≠ 1 なので g(p) = pe(p) は素数ではありません。また、条件4が成り立たないのですべての素数 p に対し g(-p) = –pe(-p) は素数ではありません。条件1と条件2も成り立たないので g(±1) は素数ではありません。さらにn ≠ ±1 かつ n ≠ ±素数ならば g(n) は素数でないので、 g(n) が素数になる n の個数は高々2個です（1個の場合もあり得る）。

　同様に条件4しか成り立たないとき、 g(n) が素数になる n の個数は高々2個です（1個の場合もあり得る）。

　これらの条件の組み合わせの中から n の個数が4個以上になるものを探せばよいのですが、それは以下の3つに集約されます。このいずれかが成り立つことが、 n の個数が4個以上であるための必要条件です。

条件	詳細
条件A	条件1 & 条件2 & 条件3
条件B	条件1 & 条件2 & 条件4
条件C	条件3 & 条件4

　これ以外の条件は下表のように、上記条件に包含される（＝上記3条件のいずれかの十分条件なので、それらが成り立たなければ成り立たない）か、 n の個数が3個以下になるかのいずれかなので、考慮する必要はありません。

条件1	条件2	条件3	条件4	判定
○	○	○	○	条件A、条件B、条件Cのすべてに包含
○	○	○	☓	条件A
○	○	☓	○	条件B
○	☓	○	○	条件Cに包含
☓	○	○	○	条件Cに包含
☓	☓	○	○	条件C
○	○	☓	☓	n の個数が2個
○	☓	○	☓	n の個数が3個以下
○	☓	☓	○	n の個数が3個以下
☓	○	○	☓	n の個数が3個以下
☓	○	☓	○	n の個数が3個以下
○	☓	☓	☓	n の個数が1個
☓	○	☓	☓	n の個数が1個
☓	☓	○	☓	n の個数が2個以下
☓	☓	☓	○	n の個数が2個以下