整式が素数になる条件 – 2024年東大 数学 第6問
目次
条件Cの検証
次に条件Cの検証です。
条件Cは条件3 & 条件4なので、もしこれが成り立つとすると、ある素数 p,q が存在して
\left \{
\begin{aligned}
e(p) &=p^2 +ap+ b=1 \\
e(-q) & = q^2 -aq +b =-1
\end{aligned}
\right .が成り立ちます。
整数に関する問題でこういう連立方程式が出てきたときは、辺々を足したり引いたりして、 p,q で因数分解できる形に持っていくことを考えましょう。
式の辺々を足すと正体不明の整数 b が定数として残ってしまうので、式の辺々を引いてみましょう。すると
p^2 - q^2 +a(p+q) = 2
ですが、これの左辺を因数分解して
(p+q)(p-q+a)=2
を得ます。
p+q も p-q+a も整数でかつ、 p+q > 0 なので、 p+q =1 か p+q =2 のいずれかが成り立つ必要があります。
ところが、 p,q はいずれも素数なので、 p+q > 2 です。これは矛盾なので、条件Cは常に成り立たないことが証明できました。
以上、条件Aと条件Cは成り立たたず、条件Bが成り立つときg(n) が素数になる n は3個であることが示せました。条件1〜4の組み合わせと g(n) が素数になる n の個数を表にすると以下のとおりです。
| 条件1 | 条件2 | 条件3 | 条件4 | nの個数 | 備考 |
|---|---|---|---|---|---|
| ○ | ○ | ○ | ○ | 0 | 成り立たない |
| ○ | ○ | ○ | ☓ | 0 | 成り立たない(条件A) |
| ○ | ○ | ☓ | ○ | 3 | 条件B |
| ○ | ☓ | ○ | ○ | 0 | 成り立たない |
| ☓ | ○ | ○ | ○ | 0 | 成り立たない |
| ☓ | ☓ | ○ | ○ | 0 | 成り立たない(条件C) |
| ○ | ○ | ☓ | ☓ | 2 | |
| ○ | ☓ | ○ | ☓ | 3以下 | |
| ○ | ☓ | ☓ | ○ | 3以下 | 小問1のケース |
| ☓ | ○ | ○ | ☓ | 3以下 | |
| ☓ | ○ | ☓ | ○ | 3以下 | |
| ○ | ☓ | ☓ | ☓ | 1 | |
| ☓ | ○ | ☓ | ☓ | 1 | |
| ☓ | ☓ | ○ | ☓ | 2以下 | |
| ☓ | ☓ | ☓ | ○ | 2以下 |
ゆえに、整数 a,b をどのように選んでも g(n) が素数になる n は4個以上存在しません。
解法のポイント
多項式に整数や素数が絡む問題が出てきたときは、まず多項式を因数分解して、多項式の積＝整数の形に持っていきましょう。このように式を変形すると、左辺の各因数多項式が右辺の整数の約数のどれかに等しいということが言えるので、問題を解く突破口になります。オーソドックスな手法なので、是非覚えておくようにしましょう。