伝説のプール問題 – 2007年東工大 数学 第１類ＡＯ型 第2問
2007年東工大 数学 第１類AO型 第2問 は同学AO入試問題の中でも有名な、いわゆる「プール問題」です。プールサイドにいる監視員がプール内の任意の点に最短時間で到達しようとするとき、最大でどれくらい時間がかかるかを求めます。問題文は以下のとおりです。
一辺の長さが 10ｍの正方形のプールの一つの角に監視員を置く。この監視員は水中は秒速 1ｍでプールの縁上は秒速 2ｍで移動するとする。この監視員がこのプールのどこへでも到達しうるには，最短で何秒必要か計算せよ。ただし，物事を単純化するため，（ⅰ）監視員は点，プールの縁は線と考え，（ⅱ）プールの縁上でも水中でもどの方向に曲ることも自由自在で，それぞれでの秒速は一定だとする。
ひっかけようとしているのか、言い回しがわかりにくいですが、「プールのどこへでも到達しうるには，最短で何秒必要か」ということは、「プール内の任意の地点に最短時間で向かうとき、一番時間がかかる地点に行くにはどれくらいかかるか」ということです。
プール内の移動のほうが時間がかかるので、プールサイドの移動距離をなるべく長くしたほうが良さそうですが、その最適値は微分で求められそうです。また、プールが正方形なのと、監視員の初期配置がその頂点の1つなので、平面座標を導入して監視員の初期配置を原点にすれば、計算も楽そうです。
方針が定まったので、早速取り掛かりましょう。なお、本稿の内容は東工大が公表したものではありません。
定式化
問題分の内容を、平面座標系を使って定式化します。プールを O(0,0) ,A(10,0) , B(10,10), C(0,10) の4点で構成される正方形で表現します。監視員は最初、原点 O にいるものとします。
プール内の目標地点を P(a,b) (0 ≦ a,b ≦ 10) とします。明らかに P への最短時間と、直線 AB を挟んで対称の位置にある P'(b,a) への最短時間は等しいので、プールの「下半分」である b ≦ a の範囲で考えても一般性を失いません。
点Pへの最短経路
点 P に到る経路としては、辺 OA 経由の「南回り」ルートと辺 OC 経由の「北回り」ルートが考えられます。北回りルートのほうが水の中にいる距離が長いので、明らかに南回りのほうが所要時間が短くなります。
と言い切ってしまいたいですが、これはそれほど自明ではありません。とは言え、感覚的には南回りのほうが速そうなので、まずこちらのルートの所要時間を計算します。
監視員は原点 O を出発して辺 OA 上の点 Q( α,0 ) ( 0 ≦ α ≦ a ) までプールサイドを移動し、点 Q からプールに入って点 P まで直線状に移動するものとします。
このとき、所要時間 f(α) は
f( \alpha) = \frac{ \alpha}2 + \sqrt{(a - \alpha)^2 + b^2}で与えられます。
α を動かしてこれの最小値を求めると、それが南回りの最短時間となります。
そこで f(α) を微分します。
\begin{aligned}
f'( \alpha) & = \frac{ 1}2 -\frac{ a - \alpha}{ \sqrt{(a - \alpha)^2 + b^2}} \\
& = \frac{ 1}2 -\frac{ 1}{ \sqrt{ 1 + ( \frac{b}{a- \alpha})^2}} \\
\end{aligned}なので、 f'(α) は α の単調増加関数であることがわかります。また、 f'(a) > 0 です。 f'(0) の符号がどうなっているかですが、 b ≦ a なので
\begin{aligned}
f'( 0) & = \frac{ 1}2 -\frac{ 1}{ \sqrt{ 1 + ( \frac{b}{a})^2}} \\
& \leqq \frac{ 1}2 - \frac{ 1}{ \sqrt{2}} <0
\end{aligned}です。
したがって f(α) は、α が f'(α) = 0 を満たすときに最小値を取ります。
\begin{aligned}
f'( \alpha) & = \frac{ 1}2 -\frac{ a - \alpha}{ \sqrt{(a - \alpha)^2 + b^2}}=0 \\
\end{aligned}のとき、
\begin{aligned}
\frac{ a - \alpha}{ \sqrt{(a - \alpha)^2 + b^2}}= \frac{ 1}2 \\
\end{aligned}なので両辺を2乗して
\begin{aligned}
\frac{ (a - \alpha) ^2}{ (a - \alpha)^2 + b^2}= \frac{ 1}4 \\
\end{aligned}分母を払って
\begin{aligned}
4(a - \alpha) ^2= (a - \alpha)^2 + b^2 \\
\end{aligned}よって
\begin{aligned}
3(a - \alpha) ^2= b^2 \\
\end{aligned}なので、 0 ≦ α ≦ a であることから
\alpha = a - \frac{b} { \sqrt{3}}です。
したがって南回りルートの最短時間は
\begin{aligned}
& f( a - \frac{b} { \sqrt{3}}) \\
= & \frac{1}2 \left ( a - \frac{b} { \sqrt{3}} \right ) + \sqrt{ \left (a - a + \frac{b}{\sqrt{3}} \right)^2 + b^2} \\
= & \frac{a}2 -\frac{b} { 2\sqrt{3}} + \frac{2b}{\sqrt{3}} \\
= & \frac{a}2 + \frac{(-1 +4)b} { 2\sqrt{3}} \\
= & \frac{a + \sqrt{3} b}2
\end{aligned}です。
次に北回りルートの最短時間を求めます。
監視員は原点 O を出発して辺 OC上の点 R( 0,β ) ( 0 ≦ β ≦ b ) までプールサイドを移動し、点 R からプールに入って点 P まで直線状に移動するものとします。
このとき、所要時間 g(β) は
g( \beta) = \frac{ \beta}2 + \sqrt{a^2 +( b - \beta)^2}で与えられます。
これを β で微分して
\begin{aligned}
g'( \beta) & = \frac{ 1}2 -\frac{ b - \beta}{ \sqrt{a^2 +(b - \beta)^2 }} \\
& = \frac{ 1}2 -\frac{ 1}{ \sqrt{ 1 + ( \frac{a}{b- \beta})^2}} \\
\end{aligned}ですが、 g'(β) は単調増加関数であり、g'(b) > 0 です。g'(0) の評価はちょっと面倒くさくて、
\begin{aligned}
g'( 0) & = \frac{ 1}2 -\frac{ 1}{ \sqrt{ 1 + ( \frac{a}{b})^2}} \\
\end{aligned}は \displaystyle\frac{a}{\sqrt{3}} \leqq b \leqq a のとき g'(0) ≦ 0 、 0 \leqq b < \displaystyle\frac{a}{\sqrt{3}} のとき g'(0) > 0 です。
したがって g(β) は \displaystyle\frac{a}{\sqrt{3}} \leqq b \leqq a のとき、南回りルートの場合と同じ計算方法により、
\beta = b - \frac{a} { \sqrt{3}}のときに最小値
\frac{b + \sqrt{3} a}2をとります。また 0 \leqq b < \displaystyle\frac{a}{\sqrt{3}} のとき、最小値
g( 0) = \sqrt{a^2 + b ^2}をとります。
以上の結果を元に、南回りルートのほうが速いことを証明します。
まず \displaystyle\frac{a}{\sqrt{3}} \leqq b \leqq a のとき、
\frac{b + \sqrt{3} a}2 - \frac{a + \sqrt{3} b}2 = \frac{( \sqrt{3} -1)(a-b)}2 \geqq 0 なので、南回りルートの勝ちです。
また 0 \leqq b < \displaystyle\frac{a}{\sqrt{3}} のとき、北回りルートは原点 O からプール内を直接 P に向かうルートが最短ですが、これより南回りルートのほうが速いのは
\begin{aligned}
& f( a - \frac{b} { \sqrt{3}}) < f(0) = g(0)\\
\end{aligned}であることから明らかです。
以上、南回りルートのほうが速いことが証明できました。
向こう側のプールサイドから回り込むルートを考える
点 P がプールサイド AB に近づくと、プールサイドをぐるっと回り込んで、後ろ側のプールサイド AB からアプローチする「東回り」ルートのほうが時間が短縮できそうな気がします。
そこで、そのようなルートを取ったときの所要時間を求めます。
監視員は原点 O からて辺 OA 上を移動して頂点 A を経由し、辺AB 上の点 S( 10,β ) ( 0 ≦ β ≦ b ) までプールサイドを移動し、点 S からプールに入って点 P まで直線状に移動するものとします。
このとき、所要時間 h(β) は
h( \beta) =5+ \frac{ \beta}2 + \sqrt{(10-a )^2 + (b-\beta)^2}で与えられます。
これを β で微分して
\begin{aligned}
h'( \beta) & = \frac{ 1}2 -\frac{ b - \beta}{ \sqrt{(10-a)^2 +(b - \beta)^2 }} \\
& = \frac{ 1}2 -\frac{ 1}{ \sqrt{ 1 + ( \frac{10-a}{b- \beta})^2}} \\
\end{aligned}ですが、 h'(β) は単調増加関数であり、h'(b) > 0 です。また、
\begin{aligned}
h'( 0) & = \frac{ 1}2 -\frac{ 1}{ \sqrt{ 1 + ( \frac{10-a}{b})^2}} \\
\end{aligned}は \displaystyle\frac{10-a}{\sqrt{3}} \leqq b \leqq a のとき h'(0) ≦ 0 、 0 \leqq b < \displaystyle\frac{10-a}{\sqrt{3}} のとき h'(0) > 0 です。
したがって h(β) は \displaystyle\frac{10-a}{\sqrt{3}} \leqq b \leqq a のとき、
\beta = b - \frac{10-a} { \sqrt{3}}のときに最小値
\frac{b - \sqrt{3} a}2 + 5 (1+ \sqrt{3}) をとります。また 0 \leqq b < \displaystyle\frac{10-a}{\sqrt{3}} のとき、最小値
h( 0) = 5+ \sqrt{(10-a)^2 + b ^2}をとります。
こうして得られた東回り最小時間と、南回り最小時間の大小を比較します。
まず 0 \leqq b < \displaystyle\frac{10-a}{\sqrt{3}} の場合です。
\begin{aligned}
& 5+ \sqrt{(10-a)^2 + b ^2} - \frac{a + \sqrt{3} b}2 \\
\geqq & 5+ \sqrt{(10-a)^2 + b ^2} -\frac{a + \sqrt{3}\frac{10-a}{\sqrt{3}}}2 \\
= & 5+ \sqrt{(10-a)^2 + b ^2} -5 \\
= & \sqrt{(10-a)^2 + b ^2} > 0
\end{aligned}なので、南回りルートの勝ちです。
次に \displaystyle\frac{10-a}{\sqrt{3}} \leqq b \leqq a の場合です。
\begin{aligned}
& \frac{b - \sqrt{3} a}2 + 5 (1+ \sqrt{3}) - \frac{a + \sqrt{3} b}2 \\
= & \frac{(1 + \sqrt{3})(10-a)}{2} + \frac{1 - \sqrt{3}}{2} b
\end{aligned}なので、
\begin{aligned}
\frac{(1 + \sqrt{3})(10-a)}{2} + \frac{1 - \sqrt{3}}{2} b \geqq 0
\end{aligned}すなわち
\begin{aligned}
b \leqq \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{2} (10-a)
\end{aligned}のとき、南回りルートのほうが速く到達します。また、
\begin{aligned}
\frac{(1 + \sqrt{3})(10-a)}{2} + \frac{1 - \sqrt{3}}{2} b < 0
\end{aligned}すなわち
\begin{aligned}
b > \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{2} (10-a)
\end{aligned}のとき、東回りルートのほうが速く到達します。
\frac{1}{ \sqrt{3}} < \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{2}なので、 0 ≦ a ≦ 10 の範囲において 0 \leqq b < \displaystyle\frac{10-a}{\sqrt{3}} ならば b \leqq \displaystyle\frac{(1 + \sqrt{3})^2}{2} (10-a) です。よって最短ルートが南回りか東回りかの境界線は
\begin{aligned}
y = \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{2} (10-x)
\end{aligned}のみです（すなわち、 0 \leqq b < \displaystyle\frac{10-a}{\sqrt{3}} か \displaystyle\frac{10-a}{\sqrt{3}} \leqq b \leqq a かどうかは考えなくて良い）。ゆえに最短ルートが南回りのとき、所要時間は
\frac{b - \sqrt{3} a}2 + 5 (1+ \sqrt{3}) です。
所要時間の最大値を求める
ここまでの考察により、直線 y = x と直線 y = \displaystyle\frac{(1 + \sqrt{3})^2}{2} (10-x) の交点
\left ( \frac{5(1+ \sqrt{3})}{\sqrt{3}}_,\frac{5(1+ \sqrt{3})}{\sqrt{3}} \right)が重要そうだ（もっと言うと、この点で原点 O からの所要時間が最大になりそうだ）という当たりが付けられます。
以下、それを証明します。
0 \leqq a \leqq \displaystyle\frac{5(1+ \sqrt{3})}{\sqrt{3}} の場合
まず、 0 \leqq a \leqq \displaystyle\frac{5(1+ \sqrt{3})}{\sqrt{3}} の場合です。
P がこの範囲のとき最短経路は南回りルートなので、所要時間は
\frac{a + \sqrt{3} b}2です。b ≦ a をであることから
\begin{aligned}
& \frac{a + \sqrt{3} b}2 \\
\leqq &\frac{1+ \sqrt{3} }2 a \leqq \frac{5(1+ \sqrt{3})^2 } {2 \sqrt{3}} = 5 + \frac{10 \sqrt{3}}{3}
\end{aligned}です。
\displaystyle\frac{5(1+ \sqrt{3})}{\sqrt{3}} < a \leqq 10 の場合
次に \displaystyle\frac{5(1+ \sqrt{3})}{\sqrt{3}} < a \leqq 10 の場合です。
a がこの範囲でかつ b の範囲が
\begin{aligned}
\frac{(1 + \sqrt{3})^2}{2} (10-a) < b \leqq a
\end{aligned}のとき、点 P へは東回りルートが最速なので、所要時間は
\frac{b - \sqrt{3} a}2 + 5 (1+ \sqrt{3}) です。よって a を固定するとき、所要時間の最大値は b = a のとき
\frac{1 - \sqrt{3} }2 a+ 5 (1+ \sqrt{3})です。
一方 b の範囲が
\begin{aligned}
0 \leqq b \leqq \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{2} (10-a)
\end{aligned}のとき、 点 P は南回りエリアにいるので、所要時間の最大値は
\frac{a + \sqrt{3} b}2です。
a を固定して b を大きくしていくと、境界線
\begin{aligned}
y = \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{2} (10-x)
\end{aligned}をまたいで東回りルートに突入します。したがって、
\begin{aligned}
& \frac{a + \sqrt{3} b}2 \\
\leqq & \frac{1}{2}a +\frac{\sqrt{3}(1 + \sqrt{3})^2}{2} (10-a) \\
= & -(1 + \sqrt{3} ) a + 5(2 \sqrt{3} +3) \\
= & \frac{1}{2} \cdot \frac{ (1 + \sqrt{3})^2}{2} (10-a) - \frac{\sqrt{3}}{2}a +5 (1+ \sqrt{3}) \\
\leqq & \frac{1 - \sqrt{3} }2 a+ 5 (1+ \sqrt{3}) \\
\end{aligned}が成り立ちます。
すなわち、 \displaystyle\frac{5(1+ \sqrt{3})}{\sqrt{3}} < a \leqq 10 の範囲で、 a を固定すると所要時間の最大値は
\frac{1 - \sqrt{3} }2 a+ 5 (1+ \sqrt{3})です。
この値は \displaystyle\frac{5(1+ \sqrt{3})}{\sqrt{3}} < a \leqq 10 の範囲で
\begin{aligned}
& \frac{1 - \sqrt{3} }2 a+ 5 (1+ \sqrt{3}) \\
< &\frac{1 - \sqrt{3} }2 \cdot \frac{5(1+ \sqrt{3})}{\sqrt{3}}+ 5 (1+ \sqrt{3}) \\
= & 5 + \frac{10 \sqrt{3}}{3}
\end{aligned}が成り立ちます。
ゆえに所要時間の最大値は
5 + \frac{10 \sqrt{3}}{3} ( \text{秒})です。単位を付け忘れないようにしましょう。
解法のポイント
本問のポイントは、まず問題の主旨がプール内の各点に到達するための所要時間の最大値を求めるものだ、と把握することが第一歩です。
次に、プール内の各点に到達するルートが3つあるので、各ルートの所要時間を具体的に求めて一番速いルートを選択します。
所要時間はプール内各点のx 座標、 y 座標の2変数関数になります。こういうときの最大値の求め方は一方の変数を固定して最大値を求め、次に固定した変数を動かして真の最大値を求める、というオーソドックスなやり方がありますが、本問もそれで答えが出ます。
何をやるべきかが最初に見えれば、計算もそれほど大変ではないので、無理なく答えにたどり着けることと思います。2変数関数の最大値問題はよくあるパターンなので、類似問題をたくさん解いて慣れてなれておくようにしましょう。