コイントス確率と重複組み合わせの難問 – 2022年東大 数学 第6問

2024年9月6日2024年9月9日

X₈ が原点 O に存在する場合の数

　ここまでの考察により、X₈ が原点 O に存在するとき、表の回数は３の倍数すなわち0,3,6のいずれかであることがわかります。

　表の数が０のときは考察済みです。

　表の数が３個のとき裏の回数は５回で、そのうち３の倍数は0,3、３で割って１余るのは 1,4、３で割って２余る数は2,5です。

　したがって、A₈ の要素は１つで k_m=0 か k_m=3 のいずれかが成り立ち、B₈ の要素も１つで k_m=1 か k_m=4 のいずれかが成り立ち、C₈ の要素も１つで k_m=2 か k_m=5 のいずれかが成り立ちます。その総数は

2 \times 2 \times 2 = 8

です。

　表裏の出方を実際に書き下してみましょう。表を●、裏を①で表します。数字は裏の回数です。また、投げる回数は左から右に増えていくものとします。まず一投目が表であるとき、二投目は必ず裏である必要があります（そうでないと、 N_a = 2 になってしまう）。

　　　　　１２３４５６７8
　　　　　●①　　　　　　

３投目は表の場合と裏の場合があり得ます。表の場合は４投目は必ず裏の必要がありますので、

　　　　　１２３４５６７8
　　　　　●①●②　　　　　　

となります。

　５投目も表と裏の場合があり得ます。表の場合は

　　　　　１２３４５６７8
　　　　　●①●②●③④⑤　　　　　　

となります。裏の場合は裏が５回出たあとで表が出る必要があるので、

　　　　　１２３４５６７8
　　　　　●①●②③④⑤●　

となります。

　３投目が裏の場合、裏が４回出た直後に表が出る必要があります。これを踏まえて４投目が表のとき

　　　　　１２３４５６７8
　　　　　●①②●③④●⑤　

４投目が裏の場合は裏が５回出たあとで表が出る必要があるので、

　　　　　１２３４５６７8
　　　　　●①②③④●⑤●　

となります。ここまでで４パターンあります。

　一投目が裏の場合も同様に４パターンあります。表裏の出方は

１２３４５６７8
●①●②●③④⑤
●①●②③④⑤●
●①②●③④●⑤
●①②③④●⑤●
①●②●③●④⑤
①●②③●④⑤●
①②●③●④●⑤
①②③●④●⑤●

となります。

　表の数が６のとき裏の数は２で、そのうち３の倍数は0、３で割って１余るのは 1、３で割って２余る数は2です。

　N_a = N_b = N_c = 2 なので、表の出方は

１２３４５６７8
●●①●●②●●

の１パターンです。

　以上、X₈ が原点 O に存在する場合の数は10であり、コイントスの表裏の出方は 2⁸ = 256 なので、求める確率は

\frac{10}{256} = \frac{5}{128}

です。